数学建模的两种基本方法范文篇1

关键词：神经网络；故障诊断；智能诊断

中图分类号：TP389文献标识码：A文章编号：1009-3044(2007)18-31690-02

TheApplicationofFaultDiagnosisBasedonFuzzyNeuralNetworks

GAOHuan-zhi,LIJun,LIFang

(InstituteofDisasterPreventionScienceandTechnology,Sanhe065201,China)

Abstract:Faintness'reasonninglogicallysystemcanhandlewithmakeuseofnotaccurateknowledge,isakindofvalidintelligencetosetupamoldmethod.Butthefaintnessreasonlogicallysystemtolackavaliddesignmethod.Thesisingeneralusenervenetworkofsetupthemoldmethodfromtheadaptabilityandthediagnosis,buildupakindofnewbreakdowntoexamineapatientmodel-themistynervenetworkexamineapatientmodel.

Keywords:Nervenetwork;Breakdowndiagnosis;Theintelligenceexamineapatient

1模糊推理神经网络诊断模型建立

1.1通用网络模型自适应动态特性

比较两类典型的神经网络―前向BP网络与反馈Hopfied网络，可以发现其核心是单层神经网络，则两类网络可以用一个通用神经网络模型来描述。根据点集拓扑理论和人工神经网络空间概念，对这个通用神经网络模型的特征进行分析得出以下两个结论，证明从略［3］。

定理1神经网络空间在紧集上的连续函数空间C上以及按L2范数在平方可积函数空间I上都是稠密的。

推论1由通用神经网络模型所生成的任何开集可以一致逼近紧集上的连续映射函数f∈C(Rn，Rm)。

由推论1表明，通用网络模型所概括的任何开集(如BP网络、Hopfield网络、BAM网络)通过自学习都能一致逼近紧集上的连续映射函数f∈C(Rn，Rm)，因而具有良好的自学习、自适应动态特性。

1.2诊断建模方法

设xjn，(j=1，2，…，k)对应反映设备运行状态第n个观测样本的k个特征参数，yin，(i=1，2，…，l)对应第n个样本的l种故障模式，共有N个样本xjn∈RN，yin∈RN，(n=1，2，…，N)，则故障模式向量Y=｛yin，i=1，2，…，l｝与特征参数向量X=｛xjn，j=1，2，…，k｝间的内在关系用函数P表示，有：X=P(Y)。当N∞时，函数P的逆函数存在，以函数S表示，有：Y=S(X)

诊断问题建模的实质就是根据有限的样本集，确定函数S(X)的一等价映射关系SS(X)，使得对于任意的ε＞0，满足：

S(X)-SS(X)=Y-YY＜ε

式中：YY=SS(X)为模型输出，Y=S(X)为标准输出，．为定义在样本空间R上的范数，ε表达了函数SS(X)的映度。

参照数学基础中的有关连续的定义，针对诊断建模问题得出以下3个结论，证明从略［3］。

定理2对于机械诊断问题，通过一定的数学变换，可得到X∈［0，1］k，Y∈［0，1］l，若映射S为定义在［0，1］k到［0，1］l上的实连续函数，又［0，1］k为RN的紧密子集，则映射S就能表征机械诊断问题，即：Y=S(X)

定理3对于机械诊断问题Y=S(X)，其中X∈［0，1］k，Y∈［0，1］l，若存在映射SS，使得对于有限样本集(X，Y)N中任意的X0∈[0,1]k有：

则映射SS建立了诊断问题的数学模型。

推论3若映射SS(X)一致逼近定义在紧集［0，1］k上的实连续函数，则映射SS建立了诊断问题的数学模型。

1.3模糊神经网络诊断模型

基于通用神经网络模型的自适应动态特性，根据推论3的结论，通用网络模型所概括的任何开集都能作为诊断问题的数学模型。即对某一具体诊断问题，配以相应的网络模型，通过网络自学习就能逼近诊断问题本身的映射关系。同时考虑诊断问题存在着不可逆性，须采用模糊方法予以处理，本文建立了如图1所示的模糊神经网络诊断模型。

图1模糊神经网络诊断模型

2模糊推理神经网络诊断模型的基本属性

2.1智能诊断机理

模糊神经网络诊断模型是一种基于知识的诊断，它属于人工智能诊断的范畴。一般地，人工智能诊断系统应包含有以下几个方面的内容：(1)对诊断领域的现有知识进行学习、抽象、概括，以形成该领域的特有知识，并按一定存贮方式存入知识库；(2)在对具体对象进行诊断识别时，应对该对象进行了解以获得足够的关于该对象的故障征兆信息，并对这些信息进行分析，提出以形成有价值的特征；(3)将该诊断对象的特征模式与知识库中的模式相匹配，并进行推理分析，以得出是否存在故障，故障的性质、部位、严重程度怎样等。

从上所述的模糊神经网络诊断模型建立，足以表明它具有人工智能诊断的一般属性和基本内容，而且在知识产生、表达、获取及推理诸方面具有自己的独特之处。

在知识产生方面，它不仅含有对诊断领域现有知识的汇编，而且包括了计算机数字仿真生成知识的内容。可以用传递矩阵法建立机组振动响应力学模型，通过数值模拟得到常见故障的振动响应分布，再引入转子系统传递函数的概念，生成反映机组故障作用位置的传递函数矩阵，最后通过转置变换，即得到知识集。

在知识表达方面，它表现为浅层和深层两种形式，面向专家、知识工程师和用户的原始知识，经过LSFS模型的数学处理后得到一些学习范例，本文称之为浅知识。这种知识形式易于表达模糊性和不确定性；浅知识通过网络自学习转化为网络的内部编码，分布在网络结构上，最终是用大量神经元的互连方式及对各连接权重的分布来表达特定的概念或知识，这种形式是一种深层的隐含表达方式，本文称之为深知识或隐含知识。

在知识获取方面，针对知识表达的两种形式，它包括两个步骤。第一步是由原始知识转变为浅知识，通过LSFS模型来实现；第二步是将浅知识输入到ANN模型中，通过网络的自学习实现知识的隐式表达。为此，模糊神经网络诊断模型的知识获取应该包括知识的自身产生、网络结构(含网络模型、网络层数及其各层的单元数)选择、学习样本的组织、使用特定学习算法对网络训练以得到所需的权值分布4个基本内容。不难看出，这种知识获取方式存在：网络结构、权值与具体的某一案例联系不紧密，它们是一群样本或者说许多案例的综合作用的结果；网络的最后输出结果一般为［0，1］之间的值，具有一定的模糊诊断能力；当某种过程发生变化时，原始知识的产生、学习范例的组织都发生变化，通过修正网络和再学习，变化了过程就会很快地被学习和表达出来。

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在知识推理方面，它主要表现在ANN模型的信息分类处理过程。一般由以下三部分组成：(1)将逻辑概念引入到输入模式的变换中，并根据论域的特点，确定变换规则，再根据相应规则，将目前的状态变换成神经网络的输入模式；(2)网络通过前向计算或动态演化，即可产生神经网络的输出模式；(3)随着论域的不同，必须按照相应的规则对输出模式进行解释。解释的主要目的是将数值向量转换成高层逻辑概念。

不难看出，这种知识推理方式不使用清晰语言描述分类逻辑标准，而只是通过数值向量的相似性来确定分类标准，且这种相似性的程度隐含在网络的权值分布上。因此，它有利于表达不确定性推理机制和自适应推理机制。

2.2突出特点

(1)模糊神经网络诊断模型重视了原始知识的产生问题。从某种意义上看，它体现了“正问题”求解与“反问题”求解相结合的诊断策略;同时为丰富原始知识的内容、研究原始知识的产生方法铺平了道路。

(2)模糊神经网络诊断模型考虑了大机组故障诊断中的不可逆性问题。它采用模糊方法(诸如模糊贴近度法、改进模糊贴近度法、基于自组织映射神经网络的模糊聚类法和复合KAF法)组织学习样本，从而使诊断模型能以模糊估计的方式给出诊断结果，具有模糊诊断能力。

(3)模糊神经网络诊断模型采用通用神经网络模型，使得它所概括的常见网络模型(BP网络、Hopfield网络、BAM网络)都能充当诊断模型中的ANN模型。由于ANN模型承担了诊断知识的隐式存储和特征数据信息的分类识别的重要角色，它是整个诊断模型的核心。因而模糊神经网络诊断模型的形式多样，诊断能力强。

(4)模糊神经网络诊断模型重视了诊断征提取的重要作用。目前，特征提取方面的技术发展很活跃，它的每一进步，通过改善原始知识的产生内容和提高故障特征信息的准确度来影响诊断模型的诊断效果。

(5)模型神经网络诊断模型是一个基于知识的通用诊断模型，它适合大机组故障诊断中所包含的任何基本诊断问题。针对某一具体诊断问题，可以选择相应的FKP、LSFS、ANN、CE模型，即能组成一个智能型的诊断系统。

3工程应用

基于上述，从中取出可能存在的7种故障标准信息。传统BP网络在进行诊断时，先人为组织网络训练样本，且训练样本的输出取为0，1值，即在表达自身频谱的故障位置赋1，否则赋0；而模糊神经网络诊断模型则通过LSFS模型(本文为了获得明显的诊断效果，其采用改进模糊贴近度法，且贴近度系数CONST=2［3］)组织网络训练样本，其结果训练样本的输出取值于区间[0,1]。在初始条件完全相同的情况下，将各自的训练样本集分别输入同一结构的网络进行训练得出如图2所示的训练误差曲线比较图。

由图2可以发现，在一个误差精度要求不高的区域里，即系统误差error＞0.002时，传统BP网络的收敛速度低于模糊神经网络诊断模型，由于此精度区域一般没有工程意义，故不做分析讨论；而在误差精度要求高的区域里，传统BP网络的收敛速度却高于模糊神经网络诊断模型。这是因为传统BP网络的训练样本输出仅简单取为0，1值，而模糊神经网络诊断模型训练样本的输出取值于区间［0，1］，此相当于对输出进行了编码，从而增加了隐层节点的附加工作来完成这种编码功能，甚至需要增加隐层节点数或增加隐层才能满足要求。

图2传统BP网络与模糊神经网络诊断模型训练误差曲线比较

4结论

基于以上的分析、论述表明，本文所建立的模糊神经网络诊断模型理论，无论从建立的理论基础、方法体系，还是从建立的结果看，它都是正确的；且它在原始知识的产生方式、学习样本的合理组织以及在网络模型的自适应选取方面都具有突出特点。通过理论分析和工程实际应用表明，该模型理论的应用能提高诊断精度，具有诊断功能强、智能化程度高、便于实用推广的特点。

参考文献：

[1]吴维库,唐锡宽.转子故障的精确诊断[C].92全国转子动力学学术会议论文集,青岛:1992,pp:536-539.

[2]杨叔子,史铁林,丁洪.机械设备诊断的理论、技术与方法[J].振动工程学报,1992,5(3):193-201.

[3]张小栋.模糊神经网络诊断原理和方法以及应用研究[J].西安交通大学,1995.

数学建模的两种基本方法范文篇2

1.基于地图的方法

基于地图的方法是，利用已有GIS数据、纸质地图和CAD提供的二维平面数据以及其他高度辅助数据经济快速建立盒状模型。这种三维建模方法，我们要做的最重要的工作就是建立微地貌DEM和建筑物DEM，然后在GIS软件系统中合成为空间城市模型。

我国进行了几次大范围的地形图测图和土地利用详查，有精确的地形图和土地利用图。20世纪70年代，随着遥感和地理信息系统技术的引进，我国地理工作者利用这些地形数据和土地利用图，结合遥感技术，建立并更新了GIS基础数据库。在此基础上进一步构建城市DEM模型和实现三维影像显示，形成由CAD数据GIS矢量数据GIS栅格数据三维影像的一种城市三维建模的集成处理方法。

2.基于图像的方法

基于立体像对的方法是建立获取城市空间数据和建立立体模型的最基本的方法，也是目前最为常用的方法。它的发展与计算机技术、遥感技术相互交叉渗透，形成了现代摄影测量技术。目前数字摄影测量技术已经取得长足进步，并趋于成熟。摄影测量成为获取城市空间数据的有效手段，在各界科学工作者的努力下，已经实现自动、半自动获取城市空间信息，建立城市模型。

2.1航天航空立体像对

一般，从航天航空立体像对上获取城市空间数据的方法是先根据航片的原始资料和元数据对立体像对完成内定向、相对定向和绝对定向，然后计算得到DEM和DOM等产品。DEM可以提供建立三维模型的X，Y，Z数据。而由于航空影像是从城市的顶部方向照的，因此，DOM提供城市的顶部纹理。对于城市建筑物的侧面纹理一般有两种处理方法，对于大比例尺的模型，要建模人员到城市实地采集，再贴到建筑物的侧面；对于小比例尺的模型，由于要求的精度不是那么高，建模人员可以根据需要模拟建筑物的侧面纹理。

2.2近景摄影测量

近景摄影测量是摄影测量学的一个分支，它以摄影测量技术为基础，对城市进行摄影，根据相片上记录的信息，获取空间三维信息。一般摄影距离小于100m的摄影测量叫做近景摄影测量。在近景摄影测量中，为了提高测绘精度，通常采用交向摄影，需要对目标物体做不同角度和方向的摄影，以获得整个物体表面的立体覆盖。由于各立体模型之间有大的摄影重叠和立体覆盖，因此可以通过相对定向达到很高的内部精度。

2.3单张照片上提取信息

上面的两种方法都是基于摄影测量的基本原理。单张照片方法不同于上述两种方法，它是从单张照片上提取城市空间数据的。这种方法部分是基于透视的原理，提取物体的特征线进行三维重建，也有基于2.5维的深度图像的方法。目前这种方法还主要在小型物体的三维重建和一些历史古迹（有些历史古迹只有照片，而实物已经不存在了）的三维信息提取。这种方法的费用比较大，花费的人力也比较大，主要是技术上有一定的难度。但是，随着算法的完善、效率的提高，也可以成为一种令人期待的方法。

2.4基于三线阵CCD的数据获取

正如前文提到的，城市空间数据获取技术的发展离不开科学技术的发展。三线阵CCD相机就是近期应用的一种新型航空多光谱数字传感器系统。三线阵CCD相机可以从前方、正上方、后方不同角度扫描目标。我国的武汉大学进行了相关的研究。日本StarLabo公司、瑞士的CyberCityAG和瑞士测地与摄影测量学会的摄影测量小组的科学家合作建立的应用TLS为数据采集传感器的空中平台和城市建模软件，成功地对日本的横滨的两个城区建立了城市模型。

3.基于点群的方法

基于点群的方法，就是应用激光雷达和激光扫描仪快速获得的大量点群数据，这些点群数据就是相对系统坐标系的城市空间坐标。这是目前获取城市空间信息最快也是最精确的方法。

3.1基于机载三维成像仪数据获取

机载三维成像仪又称机载激光测距——扫描成像制图系统。它由GPS接收机、姿态测量装置（惯性导航系统INS）、扫描激光测距仪、扫描成像仪4个主要部分组成。GPS能得到三维成像仪在空中的精确三维位置，姿态测量装置能测出三维成像仪在空中的姿态参数，扫描激光测距仪可以得到机载三维成像仪到地面点的距离，扫描成像仪（线阵CCD或面阵CCD）获取地面的纹理数据。

3.2移动测绘系统数据获取

移动式测图系统的主要组成部分有：用于导航的GPS接收机，确定传感器姿态的惯性导航系统INS，激光测距仪，CCD相机和运载平台汽车。目前，移动测绘系统数据获取平台的研制是城市空间信息获取的研究前沿。移动测绘系统是一种高度集成化、自动化的数据获取方式，快速进入复杂街区扫描，避免人工长距离搬运精密复杂的测量仪器，并与定位导航系统配合成为最具有发展潜力的空间信息快速获取手段。它可用于自动车辆导航，建筑物的测绘，道路网的测绘，交通信号管理，监测车辆行驶速度和停车场的违规，高速公路路面测绘等。此外，由于移动测绘系统能在较短时间内重复测绘各类对像，因而可成为更新GIS空间数据库的重要手段。

3.3先进的三维激光测距技术

三维激光扫描仪的主要构造是一部快速准确的激光测距仪加上一组可导引雷射光以等角速度扫描的反射棱镜，同时接收自然物表面反射之信号进行测距，针对每一扫描点可测得测站至扫描点的斜距，配合扫描的水平与垂直方向角，可推求得每一扫描点与测站之三度空间相对坐标差。若测站之三维坐标为已知，则可求得每一扫描点的三维坐标。目前激光扫描速度可达数万点/s，三维激光影像扫描仪小型便捷、精确高效、安全、稳定、可操作性强，能在几分钟内对所感兴趣的区域建立详尽准确的三维立体影像（3DImage）。基于激光扫描的数据获取技术作为最近迅速发展的一种新技术，可用于大规模场景三维空间信息获取，目前正引起广泛的关注。

4.混合集成方法

以上各种方法各有特点，但也各有局限性。不同的方式之间存在着互补性，因此利用混合手段集成多种方式获取城市空间信息成为人们研究的焦点。一是结合现有GIS数据库、规划建筑图纸和数字摄影测量进行城市空间数据获取的方法；二是集成航空影像、地面影像和地图等多种数据源的获取框架；三是建立了一个静态摄像机结合RTK2GPS的混合系统来测定空间坐标及获取纹理信息。

数学建模的两种基本方法范文1篇3

关键词:BP人工神经网络;Fisher判别函数;财务风险;高校

中图分类号:F069.9文献标志码:A文章编号:1673-291X(2007)07-0123-03

加快高等教育的发展步伐,加大高校对社会的人才供给,是我国高等教育事业发展的迫切需求｡近年来,越来越多的高校在发展过程中,通过金融市场筹集资金以缓解发展过程中的资金瓶颈问题｡举债办学反映了高校理财观念的更新｡然而,机遇与风险总是相伴而生的,举债的同时也使高校面临还本付息的压力｡目前,部分学校对举债的风险认识不足,贷款的规模大大超过自身的经济偿还能力,出现短期资金链的断裂,如不能及时发放员工工资｡这些问题引起了社会的广泛关注｡

钟冲在《高等学校财务风险预警分析与应用》(2004)一文中,以教育部部属72所高校为样本数据,用7个财务指标,利用Fisher判别函数建立了高等学校财务风险预警多元判别模型,对72所高校的风险程度进行了分类｡本文在其数据和财务指标的基础上,利用BP人工神经网络方法建立判别模型,从而比较这两种方法在高校财务风险运用中的实用性,并对高校的财务状况进行重新分类｡

一､高校财务风险预警方法

(一)Fisher判别函数

Fisher判别分析法的基本思想是通过将多维数据投影到某个方向上,投影的原则是将总体与总体之间尽可能地分开,然后再选择合适的判别规则,将待定的样本进行分类判别｡Fisher判别的基本表达式为:

判别函数为:

F(X)=X＇(W+W)(X-X)

判别规则:

F(X)≥n,n∈财务风险企业

F(X)≤n,n∈非财务风险企业

其中:n=[F(X)+F(X)]/2;

X,X为两组的均值向量;

W,W为两组的协方差矩阵｡

对多个总体的费歇判别法的基本思路:

对于k个总体(G,G,……,G),我们假定它们具有相同的协方差矩阵∑,u,u,……u分别为总体G,G,……,G的均值,每一个总体含有P个样本点,任给出一个样本点X,要判别x属于哪一个总体,这样得到x的线性判别函数:

F(x)=bx=bx+bx+…+bx

费歇判别法就是要寻找一个由P个变量组成的线性函数F(x),使得每一个总体内样本点的函数值尽量接近,其他总体之间的函数值尽量疏远｡

(二)BP人工神经网络方法及算法的优化

BP人工神经网络又称为多层前馈神经网络,被认为是最适用于模拟输入和输出的近似关系,是算法最成熟､运用最广泛的人工神经网络｡它通常由输入层､输出层和隐含层组成,其信息处理分为前向传播和后向学习两步进行,网络的学习是一种误差从输出层到输入层向后传播并修正数值的过程,其目的是使网络的实际输出逼近某个给定的期望输出｡

神经网络运用于财务状况的判别包括学习和预警两个过程｡首先,用训练集的数据训练这个网络,使不同的输入向量得出相应的输出值,当误差降到一个指定的范围内时,神经网络所持有的那组权数值就是网络通过自学习得到的权数值,即完成了神经网络的自学习过程｡然后,输入测试样本数据,让训练好的神经网络输出高等学校财务风险程度的标志,即实现神经网络的财务预警操作｡

由于传统的BP算法主要的缺点是:收敛速度慢､局部极值､难以确定隐含层和隐含层的节点个数｡在实际应用中,BP算法很难胜任｡因此,本文采取了一种更有效的优化算法――Levenberg―Marquart方法(网络训练函数为trainlm)｡

二､样本数据的选取

为了比较Fisher判别函数和BP神经网络方法在高校财务预警中的实用性,本文选取了与《高等学校财务风险预警分析与应用》一文中相同的建模样本数据,即教育部部属72所高校的财务数据｡其中,64所高校为建模样本数据(已知分类样本空间),8所高校为待判样本数据,参加判别分析的高校数占88.9%,待判的包含缺失值或分类变量范围之外的高校数占11.1%｡

关于64所高校财务状况的分类,《高等学校财务风险预警分析与应用》一文中根据经验分析的方法作了如下分类:第1类包括48所高校(经营状况良好,警情较轻),第2类包括12所高校(经营状况一般,警情中等),第3类包括4所高校(经营状况很差,警情较重)｡本文继续沿用此种分类结果,分类结果如下表1,其中CN为高等学校的学校代码:

三､方法的比较及实证分析

(一)Fisher判别函数的分析过程

《高等学校财务风险预警分析与应用》一文中对提出的20个财务比率指标进行相关性分析,选取了相关性较弱的7个财务指标,分别为:资产负债率､现实支付比率､收入负债比率､生均收支比率､固定资产增长比率､净资产收入比率和自有净基金占货币资金的比率｡然后,采用全模型法,在没有使用主观变量的基础上,建立了3类高等学校的线性判别模式｡

分类1:Q=2.056X+0.486X-10.539X+78.6X+11.793X+15.601X-3.195X-50.016

分类2:Q=17.246X+0.440X+0.494X+69.018X+13.176X+17.938X-4.201X-45.673

分类3:Q=32.684X+0.296X+6.286X+61.939X+11.919X+15.698X-15.834X-102.823

判别的结果是:对于原始数据中,属于分类1的48所高校有43所仍归入1类,有5所归入2类;属于分类2的12所高校有10所仍归入2类,2所归入1类;属于分类3的4所高校仍然归入3类,判别正确的概率总的来看为89.1%｡

(二)BP神经网络的分析过程

1.网络结构的建立

由于三层神经元构成的前馈网络可以形成任意复杂的判决区域,故采用具有一个输入层､一个隐含层､一个输出层的三层网络｡

本文继续采用上述的7个财务比率指标构建判别模型,因此,输入层的神经元个数为7｡判定结果的值为1､2､3,即代表3类不同的财务风险程度,因此,输出层的神经元个数为1｡本文利用MATLAB7.0编程用相同的训练样本对隐含层节点数不同的网络进行训练(让隐含层节点数在8～20之间变动),比较它们的系统误差及训练的收敛速度,发现当隐含层的节点个数达到11时,网络的收敛速度较快(第28次迭代时达到训练要求的精度),误差最小｡因此,最终确定的神经网络结构为7-11-1｡

2.网络的训练结果及比较分析

(1)网络的训练及判别

为避免变量各指标数值间差异太悬殊,而导致小数值被大数值所淹没,首先,利用premnmx函数对各样本数据进行无量纲化处理,使归一化后的数值分布在[-1,1]区间内｡然后,选择60所高校为训练样本,4所高校为检验样本对所构建网络进行训练,使误差达到满意的程度｡具体样本分类如表2所示:

在网络的自学习过程中,当第28次迭代时网络的误差为5.71947E-006,达到训练设定的精度要求,网络停止训练｡训练样本与检验样本的网络判断结果如表3和表4所示(由于训练样本数较多,本文不能一一列举,这里只是选择性的列举了其中5所高校的判别结果):

为了对网络的响应进行分析,验证用BP神经网络建立的判别模型的有效性,笔者利用MATLAB7.0工具箱中的postreg函数将训练样本和检验样本的网络输出和相应的期望输出向量进行线性回归分析｡分析结果如图1和图2所示:

可以看出,输出结果的最佳线性拟合结果与“输出值=期望值”的理想曲线基本重合,即输出对期望值的跟踪较好,相应的R值达到1,说明网络的训练效果很好｡而检验样本的R值也达到了0.989,只有一所高校网络判别结果属于第二类学校,与实际的分类有些区别｡

(2)两种方法的比较分析

将Fisher判别函数和BP神经网络方法所建的判别模型的判别结果进行比较可以发现:两种方法的判别结果基本上是一致的,都具有较高的分类正确率,但利用BP神经网络方法建立的判别模型对训练样本的判别结果与实际的分类是一致的,而检验样本中也只有一所高校与实际有区别,判别的正确率达到98.43%,高于Fisher判别函数方法的89.1%｡

这两种方法在高校财务风险判别中存在差异,主要的原因在于:影响高校财务风险的因素比较多,各影响因素与财务风险之间存在着复杂的非线性关系｡Fisher判别函数建立的多元判别模型是线性模型,分析高度非线性系统的变化规律具有一定的局限性,而BP神经网络方法建立的是非线性模型,能更好地“辨识”这种复杂的关系｡

(3)网络判别模型的预测

由上述的分析可知,BP神经网络方法的分类正确率高于Fisher判别函数,因此,本文利用训练好的网络重新预测待判的8所高校的财务状况｡

通过网络的判别,8所高校中2所归入第3类学校,其余6所高校归入第1类学校｡所以,最终判别的分析结果为,财务状况良好属于第1类的高校(警限视为轻警)有54所,财务状况一般属于第2类的学校(警限视为中警)有12所,财务状况很差属于第3类的学校(警限视为重警)有6所｡

四､结语

BP人工神经网络具有非线性､快速等特点,该模型已广泛运用于各个领域,如预测市场价格､天气变化､企业可信度等方面,并在上市公司财务风险的预警中取得了显著成效｡本文在总结他人的研究成果基础上,利用BP神经网络方法建立判别模型,发现神经网络方法比Fisher判别函数在相同样本的高校财务风险判别中具有更高的准确性和实用性,为高校相关决策者识别和控制财务风险提供了一条更为准确的路径｡

参考文献:

[1]翟东升,曹运发.Fisher判别分析模型在上市公司信用风险度量中的应用[J].林业经济,2006,(3):62-65.

[2]刘洪,何光军.基于人工神经网络方法的上市公司经营失败预警研究[J].会计研究,2004,(2):42-46.

[3]张玲,陈收,张昕.基于多元判别分析和神经网络技术的公司财务困境预警[J].系统工程,2005,(11):49-56.

数学建模的两种基本方法范文1篇4

关键词：模式识别；SIMCA分类法；主成分分析

中图分类号：R965；O6204文献标识码：A文章编号：1007-9416（2017）04-0145-02

1基于主成分分析的SIMCA分类法[1]

SIMCA（SoftIndependentModelingClassAnalog）是由瑞典化学家Wold于1976年提出的一种基于主成分分析（PCA，Principalcomponentanalysis）的分类方法。它利用先验分类知识，对每一种类别建立一个PCA模型，然后利用这些建立的模型判断未知样本的归属。SIMCA方法是通过F检验设定分类的置信区间，针对每个类，其F检验的两个维度的自由度分别为：（M-A）和（n-A-1）（M-A），其中M为变量数（变量数对每类应该是一样的），A为该类的有效主成分数，n为该类的样本数。对化学测量来说，一般样本数n都远远小于测量变量数M，为使每个维度的自由度大于0，请注意样本数、变量数和选择的主成分数之间的关系。

1.1原理

SIMCA方法是一种建立在主成分分析基A上的模式识别方法，其基本思路是先利用PCA分析建立每个类别的模型，然后计算未知样本与PCA模型的距离，根据距离判别方法判别分析，以确定其属于哪一类或不属于哪一类。

1.2计算过程

SIMCA方法的计算过程流程图如图1所示，通过图示过程，可以看出SIMCA分类法是多次使用主成分分析方法，首先利用PCA分析得到整个样本的分类，然后，为每一个类建立PCA模型，最后用它们来判别未知样本的类别。

从上述讨论可知，在整个SIMCA方法的计算过程中，每一类样本进行了主成分建模，因此主成分分析方法对结果起决定作用。

2主成分分析

主成分分析（Principalcomponentsanalysia）是由Hotelling于1933年首先提出的。PCA是将多个指标的数据进行降维化为少数几个指标的一种方法，它在尽可能保留原有信息的基础上将样本指标数压缩，使数据矩阵简化，降低维数，由少数几个原始变量线性组合的“有效”特征成分来揭示数据结构特征，提取主要信息。

2.1主成分分析基本原理

人们在对具体事物进行研究时，为了更详细全面的了解事物的特性，常常会涉及到多指标问题，为获取可靠信息，往往考虑尽可能相关的多个指标去观测，而在实际问题中多指标也增加了问题的复杂度，指标之间总是有一定的相关性及信息重叠，我们希望用较少的指标反映事物的特征。基于此，就产生了主成分分析，主成分分析是通过分析可观测的指标，提取几个较少的综合指标以揭示原来变量绝大多数信息的一种多元统计方法[2，3，4]。

综上所述，利用PCA得到的主成分与原始变量的关系可以归结如下：

（1）每一个主成分都是原始变量的线形组合（2）主成分的数目明显小于原始变量的数目

（3）主成分带有原始变量的大部分信息（4）各主成分之间互不相关。

2.2主成分分析算法[5-14]

2.2.1特征值分解

对数据进行预处理，得到矩阵X，又通过计算得到协方差矩阵Z，最后根据协方差矩阵得到特征值和特征矢量，这种计算过程称为特征值分解方法。计算过程在MATLAB语言环境中，用一个语句[V，D]=eig（X）就可得到特征值对角阵D和满秩正交矢量阵V，且XV=VD。

2.2.2奇异值分解

奇异值分解是另一种对数据矩阵进行求解的方法，它更稳定用途广泛。利用MATLAB语言对数据矩阵Xnm作奇异值分解，[U，S，V]=svd（X），可得

式中，U、S和V的大小分别为n×r、r×r和m×r，且U′U=Ir×r，V′V=Ir×r，X′X=VS2V′，XX′=US2U′。

与下节中的X=TP相比，可知T=US，P=V′且λ=S2，即实数矩阵的特征值等于相应奇异值的二次方。由于svd性能优异且表示简洁，已被广泛采用。

2.2.3NIPALS法

计算主成分的方法还有非线性迭代偏最小二乘法（nonlineariterativepartialleastsquires，NIPALS）。这一方法以所需计算机内存少、易于实现著称。

以对m个变量的n次观测值组成一个矩阵为例

X=

假定Xn×m的秩为r[r

这些秩为1的矩阵Zh，可以表示为两个向量的外积[其中向量之一称为得分向量（score），维数为n；另一向量称为载荷向量（loading），维数为m]，即，维数为，与X的相同。因此，上式可写为

其矩阵形式表示为

其中，T和P分别由t和p组成。

通常，主成分分析中，人们所关心的是投影操作。通过一种操作使Xn×m向一维空间投影，使得它的每一列用一个标量表示；通过另一种操作使Xn×m向另一维空间投影，使得它的每一行用一个标量表示。这些操作具有很简单的特点，最常用的操作是NIPALS方法。NIPALS方法并不能一次计算出所有主成分。它首先从Xn×m计算出t1和，然后，从Xn×m减去t1和的外积，得到残差矩阵E1。再用E1计算t2和p2，即

NIPALS代数如下：

（1）从Xn×m中任取一向量，将其赋值给，；（2）计算，即；（3）将归一化，即；（4）计算，即；（5）；（6）比较步骤4和2中的，如果迭代收敛，停止计算，否则转至步骤继续迭代。

3算法实现

在MATLAB中分别用三种方法M行主成分分析，如图2所示，处理对象由一个42个样本，351维变量组成的数据矩阵，处理结果如表1。

得分矩阵反映了样本与样本之间的关系，而载荷矩阵反映了变量（如波长、质荷比）之间的关系。

上述两种方法都是对原有多维变量的处理以得到一组较少的线性组合做为新的变量。然而，不像主成分分析是无监督的方法，选取主成分时可能会遗漏一些变量，导致最终的预测模型的可靠性下降。而偏最小二乘在导出组合方向的时候考虑了响应变量的信息，PLS可以找到具有高方差并且与响应变量更有关的方向。PLS是一种因变量对自变量的回归建模方法，可以同时实现回归建模、主成分分析以及两组变量之间的相关性分析，因此，PLS被广泛用于许多领域进行建模。

40.926966.124274.018079.609082.620385.374487.280188.692889.891590.922491.754292.498893.160093.772594.279894.768395.214895.601295.972096.301796.623796.927497.223697.480697.723897.949098.148098.336598.521698.690598.853899.004699.152899.292399.421499.539499.644399.742099.835799.9200100.0000

参考文献

[1]许禄.化学计量学：一些重要方法的原理及应用[M].北京：科学出版社，2004.2.

[2]李云雁，胡传荣.试验设计与数据处理[M].北京：化学工业出版社，2005.3.

[3]高惠漩.应用多元统计分析[M].北京：北京大学出版社，2005.1.

[4]宫下芳胜，佐佐木慎一.化学计量学：化学模式识别与多变量解析[M].共立出版株式会社，1995.

[5]SharafMA，IllmanDL，KowalskiBR.Chemometrics.NewYork：Wiley-Interscience，1986.

[6]MalinowskiER.FactorAnalysisinChemistry.2ndEd.JohnWiley&Scons，Inc，1991.

[7]陆婉珍，袁洪福，徐广通，等.现代近红外光谱分析技术[M].北京：中国石油化工出版社，2000.

[8]何旭初.广义逆矩阵的基本理论和技术方法[M].上海：上海科学技术出版社，1985.

数学建模的两种基本方法范文

[论文摘要]建模能力的培养，不只是通过实际问题的解决才能得到提高，更主要的是要培养一种建模意识，解题模型的构造也是一条培养建模方法的很好的途径。

一、建模地位

数学是关于客观世界模式和秩序的科学，数、形、关系、可能性、最大值、最小值和数据处理等等，是人类对客观世界进行数学把握的最基本反映。数学方法越来越多地被用于环境科学、自然资源模拟、经济学和社会学，甚至还有心理学和认知科学，其中建模方法尤为突出。数学教育家汉斯·弗赖登塔尔认为：“数学来源于现实，存在于现实，并且应用于现实，数学过程应该是帮助学生把现实问题转化为数学问题的过程。”《新课程标准》中强调：“数学教学是数学活动，教师要紧密联系学生的生活环境，要重视从学生的生活实践经验和已有的知识中学习数学和理解数学。”

因此，不管从社会发展要求还是从新课标要求来看，培养学生的建构意识和建模方法成了高中数学教学中极其重要内容之一。在新课标理念指导下，同时结合自己多年的教学实践，我认为：培养建模能力，不能简单地说是培养将实际问题转化为数学问题的能力，课堂教学中更重要的是要培养学生的建模意识。以下我就从一堂习题课的片段加以说明我的观点及认识。

二、建模实践

片段、用模型构造法解计数问题（计数原理习题课）。

计数问题情景多样，一般无特定的模式和规律可循，对思维能力和分析能力要求较高，如能抓住问题的条件和结构，利用适当的模型将问题转化为常规问题进行求解，则能使之更方便地获得解决，从而也能培养学生建模意识。

例1：从集合｛1，2，3，…，20｝中任选取3个不同的数，使这3个数成等差数列，这样的等差数列可以有多少个？

解：设a，b，c∈N，且a，b，c成等差数列，则a+c=2b，即a+c是偶数，因此从1到20这20个数字中任选出3个数成等差数列，则第1个数与第3个数必同为偶数或同为奇数，而1到20这20个数字中有10个偶数，10个奇数。当第1和第3个数选定后，中间数被唯一确定，因此，选法只有两类：

（1）第1和第3个数都是偶数，有几种选法；（2）第1和第3个数都是奇数，有几种选法；于是，选出3个数成等差数列的个数为：2=180个。

解后反思：此题直接求解困难较大，通过模型之间转换，将原来求等差数列个数的问题，转化为从10个偶数和10个奇数每次取出两个数且同为偶数或同为奇数的排列数的模型，使问题迎刃而解。

例2：在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A，B两种不同的作物，每种作物种植一垄，为了有利于作物生长，要求A，B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有几种（用数字作答）。

解法1：以A，B两种作物间隔的垄数分类，一共可以分成3类：

（1）若A，B之间隔6垄，选垄办法有3种；（2）若A，B之间隔7垄，选垄办法有2种；（3）若A，B之间隔8垄，选垄办法有种；故共有不同的选垄方法3+2+=12种。

解法2：只需在A，B两种作物之间插入“捆绑”成一个整体的6垄田地，就可以满足题意。因此，原问题可以转化为：在一块并排4垄的田地中，选择2垄分别种植A，B两种作物有种，故共有不同的选垄方法=12种。

解后反思：解法1根据A，B两种作物间隔的垄数进行分类，简单明了，但注意要不重不漏。解法2把6垄田地“捆绑”起来，将原有模型进行重组，使有限制条件的问题变为无限制条件的问题，极大地方便了解题。

三、建模认识

从以上片段可以看到，其实数学建模并不神秘，只要我们老师有建模意识，几乎每章节中都有很好模型素材。

现代心理学的研究表明，对许多学生来说，从抽象到具体的转化并不比具体到抽象遇到的困难少，学生解数学应用题的最常见的困难是不会将问题提炼成数学问题，即不会建模。在新课标要求下我们怎样才能有效培养学生建模意识呢？我认为我们不仅要认识到新课标下建模的地位和要有建模意识，还应该要认识什么是数学建模及它有哪些基本步骤、类型。以下是对数学建模的一些粗浅认识。

所谓数学建模就是通过建立某个数学模型来解决实际问题的方法。数学模型可以是某个图形，也可以是某个数学公式或方程式、不等式、函数关系式等等。从这个意义上说，以上一堂课就是很好地建模实例。

一般的数学建模问题可能较复杂，但其解题思路是大致相同的，归纳起来，数学建模的一般解题步骤有：

1．问题分析：对所给的实际问题，分析问题中涉及到的对象及其内在关系、结构或性态，郑重分析需要解决的问题是什么，从而明确建模目的。

2．模型假设：对问题中涉及的对象及其结构、性态或关系作必要的简化假设，简化假设的目的是为了用尽可能简单的数学形式建立模型，简化假设必须基本符合实际。

3．模型建立：根据问题分析及模型假设，用一个适当的数学形式来反映实际问题中对象的性态、结构或内在联系。

4．模型求解：对建立的数学模型用数学方法求出其解。

5．把模型的数学解翻译成实际解，根据问题的实际情况或各种实际数据对模型及模型解的合理性、适用性、可靠性进行检验。

从建模方法的角度可以给出高中数学建模的几种重要类型：

1．函数方法建模。当实际问题归纳为要确定某两个量（或若干个量）之间的数量关系时，可通过适当假设，建立这两个量之间的某个函数关系。

2．数列方法建模。现实世界的经济活动中，诸如增长率、降低率、复利、分期付款等与年份有关的实际问题以及资源利用、环境保护等社会生活的热点问题常常就归结为数列问题。即数列模型。

3．枚举方法建模。许多实际问题常常涉及到多种可能性，要求最优解，我们可以把这些可能性一一罗列出来，按照某些标准选择较优者，称之为枚举方法建模，也称穷举方法建模（如我们熟悉的线性规划问题）。

4．图形方法建模。很多实际问题，如果我们能够设法把它“翻译”成某个图形，那么利用图形“语言”常常能直观地得到问题的求解方法，我们称之为图形方法建模，在数学竞赛的图论中经常用到。

从数学建模的定义、类型、步骤、概念可知，其实数学建模并不神秘，有时多题一解也是一种数学建模，只有我们认识到它的重要性，心中有数学建模意识，才能有效地引领学生建立数学建模意识，从而掌握建模方法。

在新课标理念指导下，高考命题中应用问题的命题力度、广度，其导向是十分明确的。因为通过数学建模过程的分析、思考过程，可以深化学生对数学知识的理解；通过对数学应用问题的分类研究，对学生解决数学应用问题的心理过程的分析和研究，又将推动数学教学改革向纵深发展，从而有利于实施素质教育。这些都是我们新课标所提倡的。也正是我们数学教学工作者要重视与努力的。

参考文献

[1]董方博，《高中数学和建模方法》，武汉出版社.

[2]柯友富，《运用双曲线模型解题》，中学数学教学参考，2004(6).

数学建模的两种基本方法范文篇6

关键词:高职高专院校《高等数学》分层次教学

《高等数学》是高职高专院校许多专业的一门重要的基础课。根据当前高职高专学生的特点,为了更好地培养学生的创新能力,使学生更好地掌握高等数学知识,许多院校进行了《高等数学》分层次教学的尝试。《高等数学》分层次教学这一课题充分体现出现代教育所提倡的因材施教与素质教育的理念,因此自提出以来就深受教育界的好评。

一、《高等数学》分层次教学的模式研究

1.A、B两级分层次教学模式研究。

(1)分层模式

将学生分成A(快班)、B(慢班)两级。A级学生占总人数的30%―50%。对A级学生的培养应按大纲的要求以正常速度进行,采用统一的教学安排,着重为学生打下扎实的数学基础,教学方法着重于提高课堂讲授质量,使学生牢固掌握所学知识。对B级学生的培养与理论要求可适当降低,速度不宜过快,并适当增加教学时数。

(2)分层标准

标准一:根据新生高考数学成绩并结合学生本人意愿分成A、B两级。

标准二:新生入学后进行数学模拟考试,根据模拟考试成绩并结合本人意愿分成A、B两级。

两种分层标准各有优劣。标准一:成绩真实度高,教学部门工作量小,不必考虑补录生的问题,但各省考题不同,导致标准不太统一。标准二:避免了高考数学各省情况不一致的问题,但考试成绩不能完全反映出学生真实的数学水平;补录生无法参加分层考试,使得这种分层方法的合理性大打折扣;工作量大。

(3)分层方法

方法一:整体分层教学法,将全院学生的高考数学成绩或模拟考试成绩大排队,全院学生均参加分层次教学。

方法二:同系分层教学法,即在每个系内部将新生的高考数学成绩或模拟考试成绩大排队,每个系内部按照上述比例实施分层次教学。

两种方法各有优劣。方法一:分层方法合理,教学方便,且有利于各系学生间的交流,但给教学管理带来一定的困难,故各部门的支持是顺利实行分级教学的保证。方法二:分层在同系内进行,实施过程简单,但各系学生的数学基础差异导致教学效果不如方法一明显。

2.A、B、C三级分层以教学模式研究。

将学生分成A、B、C三级教学模式。A级学生可占总人数的30%,该层次的学生数学基础较好,可穿插讲授数学建模基本内容和方法,强调其应用性,使学生应用于建模的知识更为广博。B级学生可占总人数的60%,可以按照学院现有的教学内容和教学方法进行。C级学生可占总人数的10%,数学理论要求可适当降低,初期适当放慢进度,补充或强化初等数学有关内容。

3.文、理分层次教学模式研究。

根据学生高中所选文、理类别,并结合学生个人意愿将学生分A级(理)和B级(文)两级。对学文的学生,若基础较好,则可申请调到A级班;同样,对学理的学生,若基础较差,则可申请调到B级班,分别以快、慢两种教学进度,难、易两教学内容授课。

二、我院《高等数学》分层次教学的方法

我院分层次教学始于2007年,经过两年的实践,积累了许多宝贵的经验。在此我们提出了今后几年分层次教学的原则、方法、划分比例和目标,具体如下:

1.分层次教学的原则。

《高等数学》的功能在于:学习该学科不仅可以为其他课程提供基础理论与基本计算方法,而且可以提高学生的逻辑思维能力与抽象思维能力。分层次教学的原则就是根据因材施教的思想,使学生在学习基础理论与基础知识的同时,提高自己的逻辑思维能力与抽象思维能力,达到学以致用的目的。

2.分层次教学的模式。

2007年,我们首先在计算机、经济、金融三个系实施《高等数学》分层次教学;2008年,在计算机、经济、金融、电信四个系采用了A、B两级分层次模式。

3.分层次教学的标准和比例。

2007年,新生在开课两周后参加学院的数学摸底考试,试题的选择上适当加大难度系数较大的题目,我们根据摸底考试的成绩对同系的学生进行A、B分班,学生比例是1∶1。2008年,我们以学生高考数学成绩为准,并结合本人志愿将学生分为A、B两层次,学生比例是2∶3。2009年以后,我们将进行新的尝试,在理科系部(计算机系、电信系)以高考数学成绩为标准,并结合本人志愿分为A、B两层次;而在文、理兼收(金融系、经济系)的系按照学生的文理分类,并结合本人志愿分成A(理)、B(文)两层次。

注意问题:

(1)高考数学成绩必须真实。

(2)以高考数学成绩为标准分层次,同时要考虑到生源地的差异。

(3)高考数学成绩以满分150分计算,满分不是150分的,将进行折算。如某省高考数学满分900分,如果某学生考了x分,则需乘以相应的权重1/6,即x/6。

4.分层次教学的方法、过程和数目。

(1)分层方法

2007与2008年我们都采用同系分级教学方法并按照上述比例分班,实践证明,这种分层次教学适合我学院学生。

(2)具体分层过程

新生报到后,教务处汇总新生的文理分类及高考数学成绩,并于两天内交至数学教研室。新生入学后一周内,我们采用同系分层次教学的方法,根据学生高考数学成绩并考虑到一些区域性差别,分别对每个系部学生的高考数学成绩大排队,根据制定的A、B级人数比例对各系学生进行预分班,并公布分班情况。第二周,允许学生提出调班申请,并以系为单位将调班汇总情况报至教务处,再进行班级微调。

(3)分层次过程中须注意的问题

①由于各系部一年级新生总人数不同,故某些系部A级或B级人数较少,考虑到教务处安排工作的方便,可将某两个系的A级或B级一起上课。

②班容量不能过大,否则影响教学效果。我院教室资源有限,兼顾两方面因素,我们认为将班容量限制在130人以下,慢班人数在110人左右,分级效果较好。

5.分层次教学的目标。

A级教学目标:达到高职院校高等数学教学大纲的较高要求,为定向性和提高,让学生为进行高层次的深造或参加大学生数学建模比赛作必要的准备。

B级教学目标:本着“够用为度”的原则,达到高职院校高等数学教学大纲的基本要求,使学生能掌握高等数学的基本原理和基本方法。

参考文献:

[1]王治华.高职高专《高等数学》分级教学的探索.沙洲职业工学院学报,2003,(2).

[2]杨厦,张玉青.论高职高专院校高等数学教学改革.中国环境管理干部学院学报,2005,(3).

数学建模的两种基本方法范文篇7

关键词：模型构建生物教学遗传规律现代解释

中图分类号：G633.91文献标识码：B

模型是人们为了某种特定目的而对认知对象所做的一种简化的描述，通过建构模型，可排除、舍弃事物的非本质因素，突出事物的本质特征，使生命现象或过程得到纯化和简化，让学生更容易掌握知识之间的本质联系和内在规律。我国的《普通高中生物课程标准》中也指出：“要让学生领悟建立模型的科学方法及其在科学研究中的作用。”因此，模型建构是学生必须掌握的科学方法之一。

在生物教学中，如果教师能够引导，让学生在一定的情境中通过自己思考或动手，建构相关模型来学习生物学知识，将会提高学习效果和学习效率。

1.教材分析

此部分内容安排在遗传与进化模块的第二章第二节“基因位于染色体上”的后面，即学完“孟德尔的杂交实验”和“减数分裂与受精作用”，并认同基因位于染色体上之后。其实“孟德尔的遗传规律的现代解释”就是对以上知识内容的相互联系、综合、总结，使学生在细胞水平上理解孟德尔的遗传规律，并深化和巩固减数分裂的过程，是一个对已有知识进行融会贯通的过程。虽然，教材上没有对这部分内容做很多的讲解，但这部分内容的学习效果，将决定着前面内容的总体效果。

2.教学目标

在“孟德尔的杂交实验”和“减数分裂与受精作用”的知识背景下，借助基因与染色体的关系，运用模型构建的方法，模拟减数分裂过程中基因、染色体的行为变化，阐明孟德尔遗传规律的实质。

3.学情分析

学生已经学习基因分离定律、基因自由组合定律和减数分裂过程中染色体的数目、行为变化等知识，为本节课的学习打下基础，但理解不够透彻，知识零散没有联系，需进一步将知识进行整合。同时，高中学生具备一定的认知能力，思维的目的性、连续性和逻辑性也已初步建立，但还不够完善，在模型构建的目的性和方向性上需要教师指导。

4.教具准备

用两种不同颜色的剪纸剪出两对同源染色体，两对大小不一，每对一红一白表示一条来自父方，一条来自母方。在两对同源染色体上标记出两对等位基因，准备8个磁铁石，作为染色体的着丝点。

5.教学过程

导入：“既然基因位于染色体上，那我们再来回顾下减数分裂的过程，把基因加到染色体上去，看看基因是如何分离和自由组合的。

5.1基因的分离定律（一对等位基因）

教师假设一个细胞只有一对同源染色体，上面只有一对等位基因Aa，请一位学生上台演示减数分裂过程（图1），其他学生和教师一起回顾减数分裂过程各时期的特点，为演示的学生做引导：间期（染色体复制）减I前期减I中期减I后期（同源染色体分离，非同源染色体自由组合）减Ⅱ前期（无同源染色体，有染色单体）减Ⅱ中期减Ⅱ后期（着丝点分裂）减Ⅱ末期（无同源染色体，无染色单体）。每演示一步，将前一个步骤的印记用红白粉笔画下，最后在黑板上呈现出一个完整的减数分裂过程图（图2）。

设问：①Aa这对等位基因是在细胞分裂的什么时期分离的？

②Aa这对等位基因是由于什么原因分离的？

③减数分裂得到的四个配子，每个配子得到一对等位基因的几个？有几种类型？

④等位基因分离的实质是什么？（总结出分离定律的现代解释）

设计说明：用剪纸和磁石模拟染色体，建构物理模型，将染色体形象具体化，利用剪纸的活动变化来模拟减数分裂中染色体的变化，给学生直观的印象，更易理解和记忆。在演示染色体变化的同时，将每一步的印记留下，最后可以展示出完整的减数分裂过程，便于学生对整体过程的把握。同时，在让学生回答问题时，黑板上的完整过程呈现可提供提示信息。由于高中生的逻辑思维能力还不够完善，探究能力还在培养当中，所以让每个学生独立完成这个过程模型的建构，难度较大。因此，采取一个学生上台演示，教师调动所有的学生一起参与，并在适当的时候给予提示和帮助。

5.2基因的自由组合定律（两对等位基因）

在图2的基础上，如果再加一对同源染色体，这对同源染色体上有一对Bb的等位基因，那么在减数分裂的过程中，基冈是如何分离和组合的呢？请一位学生上黑板演示（图3），并在黑板上呈现出一个完成的减数分裂过程图（图4）。其他学生画在学案上。

设问：①Aa、Bb两对等位基因是在什么分裂时期自由组合的？②两对等位基因是由于什么原因自由组合的？③除了黑板上的组合方式，还有什么组合方式？（请在学案上画出来）④基因自由组合的实质是什么？（总结出自由组合定律的现代解释）

设计说明：同样也是利用剪纸的活动来模拟减数分裂过程，不同的是，由于有前一次的基础，学生已经学习到这种构建模型的方法，教师可以让每位学生独立完成过程模型的构建，并且可以进一步把它转化为图画模型，呈现在学案上。此处学生不仅利用了实物模拟的物理过程模型，还利用了图画过程模型，巩固和深化了物理模型构建方法的学习。同时，又通过自己的构建模型，获得了相关知识。

6.教学反思

本节内容的教学利用了实物模拟、图画等物理过程模型的构建。物理模型最显著的特点是形象直观，让看不见摸不着的知识变得形象、具体，使学生从形象思维人手，降低了学习难度。本节课中学生通过实物演示的过程，很快理解等位基因分离、非等位基因自由组合的原因，以及能自由组合的非等位基因，并能自己初步总结出基因的分离和自由组合定律的实质，不再像以前那样似懂非懂的死记硬背，提高了学习兴趣。

模型的建立过程实际上是一个科学探究的过程，在构建模型时，学生在亲历思考和探究中完成知识体系的构建，领悟到科学探究的方法。因此，教师利用模型进行探究性学习，能够让学生置身于探索科学现象、发现科学规律的活动中，培养了学生的科学探究能力。

构建模型的教学方式提高了学生在教学中的参与度，充分发挥了学生的主观能动性。模型建构教学活动，是以学生为主体，以建构模型为主线，让学生去探索、交流和学习，所有的学生都积极参与其中。

数学建模的两种基本方法范文篇8

关键词：高中生物课程；“稳态与环境”模块；知识结构；科学方法

《普通高中生物课程标准（实验）》（以下简称为《标准》）在课程结构上发生了比较大的变化，其中包括设置了“稳态与环境”这个必修模块。对这种新颖的设计，有许多教师不理解，也有一些教师从科学性和合理性方面提出了质疑。本文就此谈一下个人的看法。

一、生物课程内容结构体系的建构

1959年，布鲁纳（JeromeS.Bruner）在《教育过程》中提出了他的结构主义课程的思想，他主张：“不论我们选教什么学科，务必使学生理解该学科的基本结构，学习结构就是学习事物是怎样相互关联的。”自此以后，课程内容要结构化，成为课程专家的普遍追求。

（一）生物课程内容体系改革的必要性

传统的高中生物课程以生命的基本特征来组织内容，这也是传统的普通生物学的学科结构。但是，我们现在必须考虑两个问题。一是现代课程论认为课程体系要反映学科体系，但不等同于学科体系。它除了考虑学科体系，还要考虑学生的认知发展和社会需求。生物学科的内容包括由事实、概念、原理和规律组成的理论体系，及其隐含的学科思想和方法。因此，生物课程的内容既可以根据知识理论体系建构，也可以根据学科思想和方法建构，两者各有其合理性。二是20世纪后半期发生的“生物学革命”，使生物学的“范式”发生了改变。库恩（T.S.Kuhn）在《科学革命的结构》一书中说：“科学革命以后，教科书和它们提出的历史传统必须重写。”例如，已故陈阅增先生主编的《普通生物学》，就打破了传统的普通生物学学科体系，根据当代生命科学从微观到宏观的发展，“按生命的主要结构层次，从低层到高层安排。”[1]

（二）构建生物课程内容结构体系的思路

课程内容结构体系构建的依据，是课程内容之间的逻辑关系和心理学方面的关系。逻辑关系指学科知识之间内在的联系，心理学方面的关系指按照编者所理解的学生认识发展，把课程内容加以组织的关系。对科学课程而言，一般的倾向是在高年级采取逻辑结构的体系，在低年级以心理学结构的体系为主。我国的课程向来关注知识体系，构建高中生物课程的思路，按我国的国情只能取前者。

按逻辑关系构建课程体系，又可以有不同的方法。例如，1.可以按形式逻辑的方法，将若干科学事实或概念作为逻辑起点，通过演绎推理构建一个公理化的体系。这种方法在物理、化学中用得较多，对生物课程，《标准》首次将概念列入了课程目标，《标准》中“遗传与进化”模块的内容，也主要以类似的方法构建；但由于生命系统的复杂性和生命现象的不确定性，以形式逻辑构建知识体系只能适用于生物科学的少数领域。2.进化论无疑是生命科学中最大的一个统一理论，研究生物进化的机制不仅要追溯漫长的生命历史，覆盖各种生物进化现象，并与生命起源承接，还要能对现今全部的生命现象给出说明。我国在20世纪50年代，曾在普通高中开设“达尔文主义基础”课程，希望以进化论为框架构建生物课程体系；但由于进化论远未成熟，结果使生物课程受哲学的支配而走上非科学的道路。3.当代生物学的发展，形成了系统生物学（SystemsBiology）。对生命的本质，生物学界长期存在活力论和还原论之争。20世纪30年代后，科学界对生命的本质提出了新的认识，就是机体系统论。1952年，美籍奥地利生物学家、系统论创始人贝塔朗菲（L.V.Bartalanffy）出版了英文版的《生命问题──现代生物学思想评价》，提出了机体系统论的基本原理：整体原理（组织原理）、动态原理、自主原理。这些原理表明：生物有机体是一个独特的组织系统，其个别部分和个别事件受整体条件的制约，遵循系统规律；生命有机体结构产生于连续流动的过程，具有调整和适应能力；生命有机体是一个具有自主活动能力的系统。[2]1968年，贝塔朗菲又在此书的基础上，进一步写成《一般系统论──基础、发展、应用》，创立了系统论，生物学也由此发展出“系统生物学”。系统生物学的一个重要方面，就是利用系统概念、系统思想和系统方法来理解生物学知识，重新整合原有的生物科学知识体系。这已成为“生物学革命”的内容之一，国际上称为“利用系统方法进行生物学革命”。“稳态与环境”模块的知识结构就是以系统生物学的思想构建的。

二、“稳态与环境”模块的知识结构

（一）关于稳态、调节和环境

稳态的概念最初来自生理学。生理学把维持内环境理化性质相对恒定的状态叫做稳态。稳态是一种复杂的、由体内各种调节机制所维持的动态平衡，一方面是代谢过程使内环境理化性质的相对恒定遭到破坏，另一方面是通过调节使平衡恢复。整个机体的生命活动正是在稳态不断受到破坏而又同时得到恢复的过程中得以维持和进行。后来，稳态的概念逐步扩展，它不仅被用来说明内环境理化特性的动态平衡，而且人们发现细胞、群落和生态系统在没有受到激烈的外界环境因素影响时，也都处于类似的状态，都可以用稳态这个概念来说明它们相对稳定状态的维持和调节。

稳态调节的概念原来也来自个体水平的生理学，例如，哺乳动物体内的温度、渗透压、pH以及各种电解质和营养物的浓度都保持在一个稳定的范围内，这是在其自身神经体液系统调节下，随时进行反馈调节而实现的。生态系统虽然没有与此类似的调节机制，但也具有一定的抵御环境压力、保持平衡状态的能力。特别是成熟的生态系统，每年的能量收支大致相等，营养物质循环近于“封闭式”，流失极少，系统能相当长久地保持一定的外观和结构，这些都是稳态调节的结果。

（二）“稳态与环境”模块概念体系的建立

任何一门科学，都是一个相对完整的理论体系，都是一个知识系统。从一般形式上看，都是由科学事实、基本概念、特定方法、相应理论以及应用范例等构成的。以生命的基本特征为框架来整理和概括生物科学事实，虽然容易被理解，而且从科学发展过程来看，分门别类地划分和组织材料，确实是一切科学的一项必不可少的任务，但是科学事实本身和若干科学事实的简单堆砌毕竟还不等于科学。事实只有以系统的概括的形式表现出来，并且成为概念和规律的根据和验证时，才能够变成科学知识的组成部分。

以这样的观点来看《标准》中“稳态与环境”模块的内容，“3.1植物的激素调节”和“3.2动物生命活动的调节”两个单元，提供的是经过整理的科学事实，它们是建立科学理论的基础和前提。在后续单元中，“说明稳态的生理意义”和“阐明生态系统的稳定性”等知识点，提出了“稳态”的概念；“举例说明神经、体液调节在维持稳态中的作用”“概述人体免疫系统在维持稳态中的作用”“举例说出生态系统中的信息传递”等知识点，提出了“调节”和“环境”的概念。科学概念是由大量科学事实和经验材料经过理性加工和提炼而形成的，科学概念一旦获得，就会使人们的认识发生飞跃，使已有的知识系统化、理论化。然而，概念虽然重要，但仅有概念还不能形成科学理论，概念只是理论的逻辑起点。在稳态、调节和环境概念的后面，还有一个更核心的概念，就是“系统”。因为稳态是系统的状态，调节是系统的行为，环境是系统的存在。这样，“稳态与环境”模块就以“系统”这个本体论概念作为核心概念，以“稳态”“环境”和“调节”三个科学通用概念把生物个体水平和生态系统水平的要素、行为、稳定和发展等问题统一起来，并以“描述体温调节、水盐调节、血糖调节”“描述群落的结构特征”“阐明群落的演替”“讨论某一生态系统的结构”等作为这个理论体系的应用范例。

需要明确的是，这个概念体系是隐性而不是显性的，是运用系统生物学的思想建立的。教材如何编写，教学如何进行，则需按具体情况而定。

三、“稳态与环境”模块的科学方法

一个科学的理论体系，除了科学事实、基本概念、相应理论和应用范例，还有一个重要的方面是特定方法。“稳态与环境”模块的科学方法，主要是系统分析方法以及以模型和数学方法为主的逻辑方法。

（一）系统分析的思想和方法

《标准》在“稳态与环境”模块的前言中指出：“本模块选取有关生命活动的调节与稳态的知识、生物与环境的知识，有助于学生理解生命运动的本质，了解系统分析的思想和方法，提高对生命系统与环境关系的认识。”[3]这就明确提出了“系统分析的思想和方法”。现代生物学的分析性研究已深入到分子、量子水平，但为了揭示生命运动的奥秘，还必须从生命系统的各个组成部分的联系和相互作用中，从它们和外界环境的相互联系和相互作用中来了解整体，这就需要进行系统分析。系统分析能力是一种非常重要的综合实践能力。例如，植树造林是中央的号召，但西北一些地区年降水量很小，蒸发量很大，其地下水主要靠地表下的渗透作用（如熔化的雪水）。在这些地区植树，地下水会因树木的蒸腾作用而过量散失，导致水位下降甚至枯竭。于是近年来中央指示这样的地区要多种草。然而，在我国的中、东部地区，却出现了砍树种草的热潮。殊不知在高温多雨地区，树的生态效益要远远超过草。结果，一些城市政府部门又不得不规定绿化至少要有多少比例的乔木和灌木。导致这些失误的原因就在于缺乏系统分析的思想。

转贴于现代系统分析包括定性分析和定量分析，定量分析是基于数学工具进行的，高中生物学教育一般只能做定性分析。如同美国《国家科学教育标准》所要求的“学会从系统的角度思考和分析问题”，具体说，就是运用系统的概念和系统分析的思想，一方面对生命系统的要素、结构、边界、环境、性能等系统的基本特征做分析，另一方面对系统的状态及其调控做分析。以生态系统为例，其要素指组成成分，即生产者、消费者、分解者等生物成分和非生物的物质和能量；结构包括时空结构和营养结构（食物链和食物网）；边界指系统的范围，生态系统是模糊集合，其边界是一个模糊概念，根据研究的需要划定；环境指一个生态系统的外部环境条件，系统与环境之间具有物质、能量和信息的交流，两者相互联系、相互影响，并共同组成一个更大的系统；性能指系统整体的特性和功能，系统的整体特性表现为该系统与其他系统的区别，系统的功能则反映了系统与外部环境相互作用的程度，或系统获取输入、予以变换而产生输出的能力。以上这些方面构成了一个生态系统的基本特征。至于系统的状态，生态系统都是开放系统，系统的稳态就是生态平衡状态。每个生态系统都具有一定的自动调节能力，在不断变化的环境条件下，依靠自我调节机制维持其稳态，实现物质循环和能量流动的相对稳定。生态系统状态的另一个重要指标是它的生产量，包括输入、输出、净生产量和效率。类似的分析在个体水平和群体水平均可进行。“稳态与环境”模块中的“描述群落的结构特征”“讨论某一生态系统的结构”“阐明群落的演替”“分析生态系统中的物质循环和能量流动的基本规律及其应用”“阐明生态系统的稳定性”“探讨人口增长对生态环境的影响”“关注全球性环境问题”等知识点，以及“利用计算机辅助教学软件模拟人体某方面稳态的维持”“调查当地自然群落中若干种生物的生态位”“调查或探讨一个农业生态系统中的能量流动”“调查当地生态环境中的主要问题，提出保护建议或行动计划”等活动建议，都需要渗透和利用系统分析的思想和方法进行教学。

（二）数学和模型方法的运用

20世纪30年代，贝塔朗菲在提出机体系统论概念的同时，主张用数学和模型方法研究生命现象。

1.模型方法

《标准》依据国际科学教育的发展，将模型和模型方法列入了课程目标。所谓“模型”，是指模拟原型（所要研究的系统的结构形态或运动形态）的形式。它不再包括原型的全部特征，但能描述原型的本质特征。[4]模型方法是以研究模型来揭示原型的形态、特征和本质的方法，是逻辑方法的一种特有形式。模型一般可分为物理模型和数学模型两大类，通常说的模型即指物理模型。物理模型可以模拟客观事物的某些功能和性质，它包括物质模型和思想模型两类。在高中生物课程中经常使用的物质模型有实物模型如生物体结构的模式标本，模拟模型如细胞结构模型、各种组织器官的立体结构模型等。思想模型是物质模型在思维中的引申，根据构建模型的思想方法的不同，又可以分为两类。一类是以形象化方法（或称为意象思维方法）构建的具象模型，它是人们在思维中通过对生物原型的简化和纯化而构思出来的。具象模型具有一定的形态结构特征，如DNA分子双螺旋结构模型、生物膜液态镶嵌模型等。它能使研究对象直观化，既可以促进研究，又可以简略描述研究成果，使之便于理解和传播。另一类是以理想化方法（或称抽象思维方法）构建的模型，是人们抽象出生物原型某些方面的本质属性而构思出来的，例如呼吸作用过程图解、光合作用过程图解等过程理想模型，食物链和食物网等系统理想模型。这类模型使研究对象简化，在科学研究中用于计算推导，引申观察和实验的结论等方面。

在现代生物科学研究中，模型方法被广泛运用，DNA双螺旋结构模型的成功就是一个范例。在生物科学学习中，模型提供观念和印象。认知心理学认为，人的知识经验既包括概念系统，又包括表象。前者有概念、原理、规律、理论，后者的成分包含观念和印象。当代不少学者都主张把表象看做一种符号要素，与语言等其他符号要素一样具有抽象、概括、组合和再组合的功能，因而能构成思维的操作。所以模型提供的观念和印象，不仅是学生进一步获取系统知识的条件，而且是学生认知结构的重要组成部分。正因为如此，美国《国家科学教育标准》把模型和科学事实、概念、原理、理论并列为科学主题的重点，并将构建、修改、分析、评价模型作为高中学生的基本科学探究能力。

“稳态与环境”模块中有两个活动建议：“探究水族箱（或鱼缸）中群落的演替”和“设计并制作生态瓶”，都是运用模型的探究。例如，“设计并制作生态瓶”制作的是一个活体实物模型，运用这个模型进行的是对生态系统运行的模拟实验。在科学研究中，有时受客观条件的限制，不能对某些自然现象进行直接实验，这时就要人为地创造一定的条件和因素，在模拟的条件下进行实验。利用活体实物模型进行的模拟实验，在生命科学研究中被广泛应用，但具有一定的复杂性。因为变量较多，而且变量之间的关系，除因果决定性因素，还存在许多非因果决定性的因素，所以需要做系统分析。就本案例来说，一方面需要对生态瓶的组成成分、结构、环境、性能等做分析，另一方面需要对系统的能量转换和物质流动状态及其调控做分析。这对学生深入理解生态系统的结构、生态系统中的物质循环和能量流动的基本规律及其应用、生态系统中的信息传递、生态系统的稳定性等，无疑具有重要的教育价值。但也正因为生命系统的复杂，所以活体生物模型与实际事物相比，存在较大差异。这是需要讲清楚的。

2.数学方法

数学方法指运用数学语言表述事物的状态、关系和过程，并加以推导、演算和分析，以形成对问题的解释、判断和预测的方法。目前，数学在生物学、医学等领域正起着越来越重要的作用，甚至医生做手术之前都可以先进行数学模拟以预知各种方案可能出现的后果，再依据个人的经验来选择手术方案。数学方法在科学教育中的价值更是不言而喻，《标准》对数学方法的使用，包括以下4个方面。

（1）定义概念。概念有具体概念和抽象概念之分，具体概念指能通过直接观察获得的概念，即实物概念，例如细胞、组织等结构概念，呼吸、遗传等生理活动概念；抽象概念不能通过观察习得，只能通过下定义才能习得，例如呼吸作用、新陈代谢等概念。在抽象概念中，有一类是用数学式来定义的。这类定量的概念以数学方法揭示事物的本质及其发展变化规律，为研究工作提供一种简明精确的形式语言，具有重要的科学认识论价值和方法论价值。“稳态与环境”模块没有明确要求用数学式定义概念，但“列举种群的特征”这个知识点，如果涉及种群密度，年龄结构和性别结构，出生率和死亡率等，那就是用数学式定义的概念。

（2）对生命现象的空间关系和数量关系进行描述、分析和计算。例如，以条形图、曲线图、统计图等来表现某一生命现象的统计数字大小及其变化，这在生物课程中已广泛应用。

（3）统计方法的运用。统计是研究随机现象的统计规律性的方法。统计性规律在生物界广泛存在，主要包括两类。一类是大数过程的规律性，即大量随机事件所组成的系统的规律性，如遗传性状传递过程中的规律。这类问题可用描述统计方法解决。另一类是某些生命系统行为的规律性，例如，生态系统中某种群数量的变化及其生灭过程、生物个体生态寿命的预期分析等，它们是不同条件下生命系统某种行为潜在可能性的数量估计，而不是实际存在的状况。这类问题可用选取统计方法解决。描述统计方法和选取统计方法，《标准》都已引入。描述统计方法主要是对观察、实验的原始材料进行整理、分类、分析等统计加工，得到统计事实。孟德尔正是使用描述统计方法对豌豆杂交实验结果进行定量观察和数据分析，才发现了遗传性状的分离现象和自由组合现象。选取统计方法又称统计推理，是从样本到总体的推理。例如，对种群数量、密度的研究，要完全获得某自然种群总体的状态、特性和变化规律的信息是困难的，甚至是不可能的，实际上也无必要，所以往往根据由样本（样方）所获得的统计事实来推断总体。“稳态与环境”模块中有两个活动建议：“探究培养液中酵母菌种群数量的动态变化”和“土壤中动物类群丰富度的研究”。前者是用描述统计方法表达大数过程的规律性，后者是用选取统计方法进行从样本到总体的推理。

（4）用数学模型来表现生物学现象、特征和状况。生物数学模型有两类：一类为确定性模型，它用数学方法描述和研究必然性现象，例如某生物个体的生长曲线、细胞分裂过程中DNA数量变化曲线等；另一类为随机模型，它用概率论和统计方法描述和研究随机现象。例如，种群基因频率的变化没有确定性，有多种可能的结果，究竟出现什么结果是偶然的、随机的，但当种群由大量个体组成，并能随机交配繁殖传代时，基因频率和基因型频率的变化又表现出统计规律性。1908年，哈迪和温伯格用遗传平衡定律（Hardy.Weinberg定律）对此进行了描述，这个随机性的数学模型为种群遗传学研究奠定了基础。对数学模型，“稳态与环境”模块中安排了一个要求：“尝试建立数学模型解释种群的数量变动”。

根据以上对“稳态与环境”模块知识结构和科学方法的分析，其科学性和合理性应该是没有问题的。当然，随之而来的教材编写和教学实施的问题，仍需要我们认真研究。

参考文献

［1］陈阅增，等.普通生物学──生命科学通论［M］.北京：高等教育出版社，1997.8.

［2］路德维希·冯·贝塔朗菲.生命问题──现代生物学思想评价［M］.吴晓江，译.北京：商务印书馆，1999.

数学建模的两种基本方法范文篇9

【关键词】模型表达；数学语言；文字语言；符号语言；图形语言

【基金项目】本文系江苏省教育科学“十二五”规划重点课题“小学数学建模教学的案例研究”（课题编号：B-b/2015/02/168）阶段研究成果。

中图分类号：G623.5文献标识码：A文章编号：1671-0568（2016）19-0015-03

从某种意义上说，教学过程就是师生一起构建数学模型的过程，在这个过程中，学生必须把模型用数学语言进行表达。所谓数学语言，就是一种由数学符号、数学术语、数学图形和经过改进的自然语言组成的科学化专业语言，包括文字语言、符号语言和图表语言3种。数学语言表达就是把思考数学对象、解决数学问题的过程用数学语言表示出来，阐明自己的观点和意见。因此，数学模型的表达过程就是学生借助一种或几种数学语言把模型中的数学思想和内容表达出来的过程。模型表达常常是数学符号语言、文字语言和图表语言的优势互补和有机融合的过程，它们相互依存、相互促进。

一、模型的数学语言表达意义

1.落实课程标准的需要

随着新课程标准的实施，数学建模越来越得到重视，在小学数学教学中引导学生构建模型、渗透模型思想非常重要。《全日制义务教育数学课程标准（2011年版）》的“课程目标”“知识技能”“数学思考”和“综合与实践”等部分提到了模型思想或数学建模。模型需要学生用数学语言进行表达，否则就成了无源之水、无本之木。

2.密切数学与生活联系的需要

建模往往是学生用数学眼光观察周围生活，根据已有知识和生活经验，把生活原型抽象成数学模型，并用数学模型解决实际问题的过程。在这个过程中，学生能充分体会如何把数学知识从生活经验中提炼出来并解决实际问题。模型表达是学生充分体验数学来源于生活，又服务于生活的关键。引导学生进行模型表达，能有效帮助学生养成把数学学习与生活密切联系起来的习惯。

3.发展学生思维的需要

数学建模是学生通过观察、比较、分析、综合、抽象、概括和推理发现数学概念、规律并加以运用的过程。数学模型表达的过程是学生充分调动原有知识和经验尝试解决新问题、同化新知识的过程。在这个过程中，学生需要积极发挥想象力、观察力和创造力，才能顺利表达数学模型。这样，模型表达过程不但能提升学生把实际问题抽象成数学问题的能力，而且能促进学生感悟模型思想、积累建模数学活动经验。

4.促进学生问题解决的需要

经过一段时间教学后，部分学生还不能理解某些重点知识，让老师感觉非常困惑：前不久刚刚接触过，当时大家的学习情况都很好，为什么现在不能掌握呢？除了学生遗忘的原因外，主要原因是教师没有引导学生在问题解决过程中建立数学模型并加以强化。如果教师引导学生在问题解决中建构模型并关注表达，就能帮助学生真正理解并掌握所学知识，并收到事半功倍的教学效果。

二、模型的数学语言表达策略

从所映射的数学对象看，数学模型大致可以分为概念类数学模型、算法类数学模型和关系类数学模型。这些模型都可以用相同类型或不同类型的数学语言表达。引导学生用数学语言表达模型时要结合教学内容，灵活选择。

1.概念类数学模型

所谓概念类数学模型，就是小学数学教学中出现的各种数学概念，如图形概念和四则运算概念等。数学概念是数学知识的基础，主要表现为数学语言中名词、术语和符号的准确含义。由于数学概念反映客观现实中数学关系的本质属性，因而每个数学概念都可以称之为数学模型，都是构建其他模型的基础。概念模型的构建过程通常包括感知具体对象阶段、尝试建立表象阶段、抽象本质属性阶段、语言符号表征阶段和概念内化阶段等过程。其中语言符号表征阶段就是用数学语言表达模型的阶段，学生可以尝试用不同的数学语言进行表达，并进行最优化。

用文字语言表达概念模型。方程概念是小学数学教学中比较重要的一个模型。构建方程概念模型时，教师先引导学生观察天平教学挂图，并用式子表示天平两边的关系，学生分别用50+50=100，50×2=100，x+50>100，x+50=150，

x+50100、x+50=150、

x+50100和x+50

50×2=100。那么，能不能给这些含有字母的等式取个名字？这样，学生就能水到渠成地选择文字语言概括方程的概念模型――含有字母的等式叫做方程。

用图形语言表达概念模型。小学生的数学思维以形象思维为主，抽象思维能力还比较弱。有些概念很难用符号语言或者文字语言清晰表达，需要借助图形语言才能构建、理解和掌握。如教学扇形时，学生先观察下列各图中的涂色部分，再说说它们的共同点――都是由圆的两条半径和一段曲线围成的，都有一个角，角的顶点都在圆的中心，从而初步认识扇形――各圆中的涂色部分都是扇形，再借助图形语言认识弧――图中AB两点间的曲线，从而完成扇形概念模型的构建。这样用图形语言表达扇形的概念模型简单、直观、易懂。

用符号语言表达概念模型。符号语言比较简洁，便于学生掌握。教学圆的周长时，学生先在正方形内画一个最大的圆，探究正方形的周长是圆的周长的几倍，再在圆内画一个正六边形（六边形的顶点都在圆上），探究正六边形的周长是圆的直径的几倍，最后思考圆的周长大约是直径的几倍？学生通过测量和计算，发现圆的周长总是直径的3倍多一点，从而顺利用文字语言构建出圆周率的概念模型――圆的周长和直径的比值叫做圆周率。如果用文字语言表达圆周率概念模型，并没有错误，但对学生后续构建圆的周长、圆的面积甚至圆柱、圆锥的相关模型带来麻烦。于是，教师引导学生用字母π表示圆周率模型，既简洁、又便于学生理解掌握，还为学生后续构建数学模型奠定基础。

2.算法类数学模型

所谓算法类数学模型，就是小学数学教学中的各种运算法则、规律、性质、解方程的程序以及解决问题的一般步骤等。根据小学生的思维发展水平，算法类数学模型的提炼过程以合情推理为主，构建模型的过程通常包括：提供具体事例，由学生经过观察、探索、运算演示等发现事物间的关系或规律，经过归纳、猜测、验证，用简练、准确的数学语言表示出来，形成模型。

用文字语言表达算法模型。文字语言表达算法模型比较准确。教学分数乘法时，学生先根据乘法意义把3/10+3/10+3/10写成3/10×3，再根据同分母分数加法的计算方法算出3/10+3/10+3/10=3+3+3/10=3×3/10=9/10，发现分数乘整数的计算方法是整数和分子相乘的积作分子、分母不变，再根据10×1/2=10÷2=5和10×2/5=10÷5×2=4发现整数乘分数的计算方法是用整数和分数相乘的积作分子、分母不变，最后根据1/2×1/4和1/2×3/4的示意图中的结果是1/8和3/8，归纳出分数乘分数的算法类模型是“分数和分数相乘，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母”。这里之所以用文字语言表达模型，因为其在前两个模型基础上抽象概括而成的，前两个模型用文字语言表达有助于学生直观掌握计算法则，提升运算能力。

用符号语言表达算法类模型。有的算法类模型用文字语言也能表达，但比较麻烦，甚至可能导致学生混淆。教学乘法分配律时，学生根据题目信息计算跳绳根数，有的列式（6+4）×24，有的列式6×24+4×24。经过计算，学生会发现它们的结果都是240，也就是（6+4）×24=6×24+4×24；通过观察，有的学生发现等式两边都有6、24和4三个数字，有的学生发现等式两边都有加法和乘法两种运算，等号左边先算6与4的和再算10个24、等号右边先算6个24与4个24各是多少再求和。学生写出几个类似等式后尝试概括规律：有的学生用文字表达规律“两个数的和与第三个数相乘，可以把这两个数分别与第三个数相乘后再相加”；有的学生用（+）×=×+×表示；有的学生用（X+Y）×A=X×A+Y×A表示；有的学生用（+）×■=×■+×■表示……最后，学生形成共识，用（a+b）×c=a×c+b×c表示乘法分配律的算法模型。学生用不同语言表达乘法分配律都正确，但符号语言表达乘法分配律模型不但简洁、清晰，而且符合约定俗成的习惯。

用图形语言表达算法类模型。符号语言虽然简洁，但有些特例用符号语言无法表达或者表达不够清晰。教学解决问题的策略（转化）时，有这样一道例题：1/2+1/4+1/8+1/16+1/32，如果通分，学生也能正确计算出结果（即1/2+1/4+1/8+1/16+1/32=16/32+8/32+4/32+2/32+1/32=31/32），但如果具有相同规律的分数多了，如1/2+1/4+1/8+1/16+…+1/512，通分就非常麻烦；如果学生用正方形、扇形或线段图表示单位“1”，用图形语言构建下面这样的模型，就能根据图形迅速算出结果。计算就会变得非常直观、简单。

3.关系类数学模型

所谓关系类数学模型，就是小学数学教学中出现的表示数量之间关系的模型，包括各种几何图形的计算公式，常见的数量关系式以及基于数据分析的各种统计图表等，如路程、速度和时间的关系，总价、单价和数量的关系，工作总量、工作时间和工作效率的关系，比、分数与除法的关系以及正比例关系和反比例关系等。引导学生用数学的眼光寻找数量之间的关系，促进学生在观察、比较、归纳中自主构建关系模型并表达出来，有助于学生发展数学思维，提升数学问题解决能力。

用文字语言构建关系模型。数量关系是学生解决实际问题的“拐棍”。教学常见的数量关系时，教师先出示情境图引导学生在观察、分析、整理信息中初步认识单价，学会写和读后，根据已知条件提出问题，并在交流中认识数量和总价，再在问题解决中自主发现“数量、单价和总价”之间的关系，构建数量×单价=总价的关系模型，并举一反三地发现总价÷数量=单价以及总价÷单价=数量。简单应用模型后，学生可根据“和谐号列车每小时行260千米和李冬骑自行车每分行200米”认识速度，再根据它们各自行驶3时和8分计算路程，发现速度、时间和路程三者之间的关系是路程=速度×时间、路程÷速度=时间以及路程÷时间=速度，从而构建了三个新的数学模型。最后，教师引导学生把总价=单价×数量和路程=速度×时间用自己的方式表示，促使学生用总数=每份数×份数这个通用模型表示。这样，学生用文字语言表示数量关系模型，并认识了数量关系式与乘法意义的联系，把似乎不同的数量关系融为一体，使所学知识真正具备数学模型的价值。

用符号语言构建关系模型。有的关系模型用文字语言表达也是可以的，但用符号语言更简洁。教学分数与除法的关系时，学生先思考把1块饼平均分给4个小朋友，每人分得多少块？（1÷4=1/4）然后思考把3块饼平均分给4个小朋友，每人分得多少块？（3÷4=3/4）再思考把3块饼平均分给5个小朋友，每人分得多少块？（3÷5=3/5）观察这3个算式，学生很快发现被除数相当于分数的分子，除数相当于分数的分母，商相当于分数值，并很快概括出分数与除法的关系模型――被除数÷除数=被除数/除数。如果用字母a表示被除数，用字母b表示除数，分数与除法的关系模型就可以表达成a÷b=a/b（a、b都不等于0）。这样把分数与除法的关系模型用符号语言表达出来比文字语言表达的模型更简洁。

用图形语言表达关系类数学模型。有些关系类模型，用文字语言或符号语言都能表示，但图形语言表达更直观。教学反比例的意义时，学生先观察单价和数量这两个量的变化情况及其变化规律，发现笔记本的数量随着单价变化而变化，单价越低购买的本数越多；单价越高，购买的本数越少，但总价不变。由此，学生根据构建正比例关系模型的经验，用单价×数量=总价（一定）表示这几个量之间的关系，并总结出“单价和数量是两种相关联的量，单价变化，数量也随着变化。当单价和数量的积总是一定（也就是总价一定）时，笔记本的单价和购买的数量成反比例关系，笔记本的单价和购买的数量是成反比例的量。如果反比例关系模型这样表达，就不具有普遍性。学生在进一步探究工作总量、工作效率和工作时间关系的基础上，尝试用字母表示关系模型，即x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的积，反比例关系可以用x・y=k（一定）表示。这样表示，学生容易混淆正比例关系模型和反比例关系模型。如果用图形语言表示就比较直观。学生阅读“你知道吗？”（如下图），发现反比例关系模型是一条曲线，而正比例关系模型则是一条直线，知识点就很容易区分，学生的认知结构就会由形式模仿走向真正的意义建构。

总之，正如数学家布克所说，模型化是小学数学中的一个基本概念，它处于所有数学应用的中心。引导学生恰当构建数学模型的过程就是“数学化”的过程，也是对学生进行思维训练的过程。引导学生选择合适的数学语言进行模型表达是“数学化”过程中最重要的一步，也是关键所在，更是提高学生数学核心素养的重要途径。

参考文献：

[1]彭文静.高中生数学表达能力的培养策略[J].教学与管理，2011，（22）.

[2]李雅云.小学生数学语言表达中的错误分析与对策[J].小学数学教与学，2011，（12）.

数学建模的两种基本方法范文

【关键词】现金流预测;差分自回归移动平均模型;BP神经网络模型

中图分类号：F275文献标识码：A文章编号：1004-5937（2014）34-0025-04

一、前言

如果说利润相当于企业的“营养”，那么现金流则相当于企业的“血液”，因现金流管理出现问题而使企业处于困境的例子不胜枚举。因此，强化对现金流的预测和管控是任何一家企业的必修课。而现金流中蕴含的丰富信息又成为大数据时代企业必须挖掘的宝贵资源和实现数据驱动智慧经营的重要基础。对资金密集型的供电企业而言，在当前售电量及相应的销售收入进入平稳增长期，而投资需求依旧旺盛的环境下，对现金流进行精益管控就显得尤为重要，而其中的关键要点便是现金流预测。

现金流入的预测一直是所有企业在现金流管理领域面对的难题，国内外各大企业和学术界对此作了大量的研究，但是并没有取得很好的效果，其主要原因在于现金流入的随机性较强、波动性大、影响因素多，不同行业不同企业的现金流各具特征、差异很大，难以找到一个统一的预测方法。但进一步就电网企业来说，电费现金流入有着其特定的规律，如图1，各年间电费现金流呈现明显的季节性变化趋势。因此，若能揭示并利用其中规律，便可在一定程度上进行较为准确的预测。

本文以占供电企业现金流入90%以上的电费现金流入为对象，尝试并比对不同的预测方法，为电网企业提高现金流管理水平提供有效手段。

二、方法介绍和已有研究成果综述

按照目前的技术手段和常用方法，一般采用：（1）解释性预测方法，典型的如线性模型和非线性模型，通过找出预测的影响因素建立回归方程;（2）时间序列模型，仅依赖被预测变量本身，通过揭示其规律进行预测。在社会经济领域，由于某一个待预测事项的影响因素众多，包括社会、经济、天气、地理、人类行为和心理因素等，而这些因素彼此又存在相关关系，因此要求穷举主要的影响因素进而建立模型也较为困难，而且其间的影响关系往往是非线性的，因此非线性的复杂模型便成为备选方法。进一步，由于“事物是发展变化的”，待预测事项及其影响因素往往是非平稳时间序列，存在前后的延续关系，因此，时间序列模型便较为合理。鉴于现金流数据的以上特征，本文选择时间序列的ARIMA模型方法和BP神经网络模型方法进行尝试和比对。

（一）ARIMA模型

ARIMA模型全称为差分自回归移动平均模型（AutoregressiveIntegratedMovingAverageModel），其基本思想是将预测对象随时间推移而形成的数据序列视为一个随机序列，用一定的数学模型来近似描述这个序列。这个模型一旦被识别后就可以用时间序列的过去值及现在值来预测未来值。

ARIMA是多个模型的混合，即自回归AR、求和I及移动平均MA，它分为非季节性ARIMA（p，d，q）模型和季节性ARIMA（p，d，q）（P，D，Q）模型，两者的区别在于后者在进行预测时考虑了季节周期的因素，更加适用于有季节性或周期性变动的数据。由于电费现金流入数据具有明显的季节性和周期性波动，故采用后者。

对于ARIMA（p，d，q）模型，AR是自回归，p为自回归项，MA为移动平均，q为移动平均项数，d为时间序列成为平稳时所做的差分次数。在使用ARIMA模型进行预测时，最关键是的确定p、q和d等参数，其主要步骤包括平稳性检验（确定d）、模型识别（确定p和q）、参数估计与诊断检验，最后利用模型进行预测。

（二）BP神经网络模型

BP神经网络是一种按误差逆传播算法训练的多层前馈网络，是目前应用最广泛的神经网络模型之一。它能学习和贮存大量的输入――输出模式映射关系，而无需事前揭示描述这种映射的数学方程式。它的学习规则是使用最速下降法，通过反向传播来不断调整网络的权值跟阀值，使得网络的误差平方和最小。BP神经网络拓扑结构包括输入层、隐含层和输出层。

利用BP神经网络进行预测的主要步骤包括原始数据的归一化、数据分类、神经网络的建立、模型训练、实际预测、反归一化和预测结果的误差分析等。

（三）应用此两种方法进行预测的已有研究成果

对未来的预测是人们在各个领域都孜孜以求的目标，学术界和实务界进行了大量探索和尝试，其中应用较多的便是上述两种方法。

在ARIMA模型的应用方面：（1）最直接的应用是在与经济利益直接相关的金融市场，如徐珍和李星野（2012）比较了小波ARMA模型和ARIMA模型在预测上证指数中的差异，发现前者预测效果更好，说明在传统ARIMA的基础上加入小波分析是一种优化。（2）另一个较多的应用方向是对人口数量的预测，涂雄苓和徐海云（2009）比较了ARIMA与指数平滑法在我国人口数量预测中的使用，发现前者优于后者，最优模型为ARIMA（2，2，1）模型并采用其进行了预测。（3）其他领域的预测包括疾病和降水的预测，如胡建利等（2013）利用季节指数法和ARIMA模型预测感染性腹泻周发病数。

在BP神经网络模型的应用方面：（1）崔德光等（2005）在综合回归预测方法和人工神经网络预测方法优点的基础上采用组合预测方法的思想，并基于多元线性回归模型确定组合方法的权重系数，进行空中交通流量与预测，是一种比单一方法更优的模型。（2）在电力相关领域，孟凡青和解大（2009）基于盲数和神经网络进行了电价预测，吴斌等（1999）基于人工神经元网络及模糊算法进行了空间负荷预测。（3）此外，还包括在股票市场预测（胡静，2007）、税收预测（林国玺和宣慧玉，2005）和资本市场预测（曾勇，唐小我，1999）等方面。

从经济含义来看，供电企业的电费现金流入是全社会范围内大量个体自发性的综合结果，与前人研究过程中涉及的对象，如股指、电力负荷、交通流量等具有内在的一致性，很难进行人为调节和事先管控，是在全社会层面上的综合反映，因此，探寻数据本身蕴含的信息和规律并据其进行预测便是可行的方法。在这些研究结论中，比较统一的结论是ARIMA要优于指数平滑法，BP神经网络要优于多元回归方法，但是ARIMA和BP神经网络这两种方法的比较，却鲜有涉及。因此，本文便主要以供电企业电费现金流入为预测对象，对这两种方法进行比较。

三、基于电费现金流入的实证分析

（一）模型设计

历史预测结果表明仅基于电费现金流入数据本身进行预测，平均误差在5%～10%之间，个别月份更大，无法满足公司现金流入管控的要求。借鉴多元回归及组合预测的思想和方法（崔德光等，2005），在全面分析了影响电网企业电费现金流的各个因素后，最终筛选确定了供电量、增容、减容和预收差额等对电费现金流入影响较大的因素作为自变量。由于春节假期对用电量有显著影响，若预测时包括1或2月份（传统的春节均在这两个月中），则加入春节调整系数作为自变量。

在此基础上，选择A供电公司2011年1月到2014年4月的月度数据，包括各个自变量和电费现金流入数据，分别建立电费现金流入的ARIMA和BP神经网络预测模型，对比两者的预测效果。以往的研究中，通常都是基于一个单一期间的历史数据，预测特定期间的未来值，虽然神经网络算法实现过程中也进行了训练，但均缺少基于不同期间长度的历史数据的预测值比较。本文为了更好地对两种预测方法进行比较，考虑到春节假期的较大影响，基于不同长度的历史区间，分别进行四次预测，全面比较，分别是：

预测1：利用2011年1月到2012年12月共24期历史数据，预测2013年1―2月（春节期间）;

预测2：利用2011年1月到2013年12月共36期历史数据，预测2014年1―2月（春节期间）;

预测3：利用2011年1月到2013年4月共28期历史数据，预测2013年5―6月（非春节期间）;

预测4：利用2011年1月到2014年4月共40期历史数据，预测2014年5―6月（非春节期间）。

由于供电企业在实务处理中主要进行下月的短期预测，因此本文主要进行未来两个月的短期预测分析。

（二）ARIMA模型的预测结果

对于本小节，本文借助SPSS构建ARIMA模型进行计算。

首先对除了春节波动系数①之外的自变量进行预测，再根据对应的月份填入春节波动系数预测电费现金流入，最优的预测模型均为ARIMA（0，0，0）（0，1，0），具体结果如表1所示。

随着历史数据的不断增加，预测误差并没有明显缩小。四次预测的拟合如图2。

（三）BP神经网络模型的预测结果

依旧界定四个预测模型，利用Matlab来预测下两期的电费现金流量，将自变量归一化后导入Matlab中，构建一个具有14个隐含层的BP神经网络，见表2。

随着历史数据的不断增加，预测误差明显缩小。四次预测的图示如图3。

（四）结果比对

从短期的预测精度比较来看，随着历史数据的增加，BP神经网络的误差明显较ARIMA模型收敛得更快，但在预测精度的绝对值上并没有明显的优势，其差异率的波动性较大。本文进一步进行了长期预测（6～12个月），发现两种方法的预测精度都会明显下降，误差越来越大，且BP神经网络的预测精度下降得更快（详细结果不再罗列）。但仅从预测精度与实际的差异率来看，基于前述事实无法明确区分两种方法的优劣。

四、两种预测方法的比较及实施效果

由于该预测方法需要在公司日常业务中进行广泛应用，操作的便利性和易用性便成为重要考虑因素。将ARIMA模型和BP神经网络模型进行对比，两种方法各有千秋。ARIMA模型操作起来比较方便，而BP神经网络则相对比较复杂，但BP神经网络模型具有能以任意精度逼近任意曲线的能力，这是ARIMA模型所不具备的。此外，BP神经网络模型由于在初始化网络的权值和阀值的时候是随机赋值的，这就造成了训练结果的不唯一性。可能单次训练会造成比较大的误差，但是采取多次训练取均值的方法则能很好地降低误差，提高预测精度。而基于SPSS的ARIMA模型只要给定数据，可以很快计算出唯一确定的结果，无需重复操作使结果收敛。

通过一段时间的实践，笔者同时对两种预测方法的预测结果进行了比较，发现在电费现金流入趋势相对稳定的月份，如4―6月使用ARIMA模型效果较好，但是在1―2月和7―8月电费现金流入突增突减的月份，使用BP神经网络效果较好，因此确定以前者为主要方法，特殊月份以后者作为补充方法。该项措施实施前后，A供电公司电费现金流入预测的情况如图4所示，改善十分明显。

今后A公司可持续在其他预测模型的尝试、自变量选择、调整系数计算方法和赋值的优化、预测模型中关键参数的设定等方面进行改进，以期不断提高预测精度。

【主要参考文献】

[1]范恒瑞，任黎秀.ARIMA与指数平滑法在江苏省GDP预测中的应用[J].江西农业学报，2011，23（2）：187-189.

[2]韩萍，王鹏新，王彦集，等.多尺度标准化降水指数的ARIMA模型干旱预测研究[J].干旱地区农业研究，2008（2）：212-218.

[3]胡静，吴强.神经网络在股票市场预测中的应用[J].科技信息（科学教研），2007（13）：261-262.

数学建模的两种基本方法范文篇11

以下通过《遗传与变异》模块中第二章的“减数分裂”一节（两个课时）的教学，尝试在课堂教学中运用模型和模型的方法，通过学生的动手操作，产生深刻的感性认识，由物理模型上升为抽象的数学模型，帮助学生对减数分裂本质的认识。

一.运用模型方法揭示生物现象本质特征

【例1】通过构建物理模型，抽象出减数分裂过程中染色体变化的本质特征

背景：在第一模块的学习中，学生曾经以二条形态大小相同的染色体为例，绘制了染色体在有丝分裂各个时期的形态和行为变化图解，即模拟模型（见图解1）。

师生共同回顾，教师展示模拟模型（图解1）。

教师提出学习任务：请同学们观察教科书或黑板的挂图，以一对同源染色体为例，绘出减数分裂过程各时期染色体行为的变化。

引导学生阅读教科书或挂图的图解，学生分小组讨论并绘制图解，学生小组展示模型构建的成果，师生展开交流和研讨，师生共同对学生的模型进行修改、分析和评价，师生逐步归纳抽象出规范的物理模拟模型（见图解2和图解3）。在此过程中，教师要不失时机地提出下列问题：

①染色体是什么时候进行复制的？

②同源染色体何时分离？

③染色体数目减半发生在什么时期？

④经过减数第一次分裂的子细胞有无姐妹染色单体？

⑤减数第二次分裂过程染色体行为与有丝分裂有何异同？

⑥在同源染色体上的相应位置标出1对等位基因（Aa），并思考该对等位基因何时发生分离？

师生讨论得出结论后，教师提出进一步学习的任务：请同学们比较分析图解，找出减数分裂过程中染色体和DNA数目变化的规律。

【例2】建立减数分裂过程染色体和DNA数目规律变化的数学模型，理解染色体变化的本质特征，概述染色体、DNA数目规律变化的意义

教师引导学生将上述数据转换成染色体、DNA数目变化的二维坐标柱状图或曲线图，并进行比较分析，进一步深化学生对数学模型的理解。

教师提出进一步学习的任务：若有两对等位基因，且符合孟德尔的自由组合定律，在减数分裂中等位基因是如何分离的？非等位基因又如何自由组合？请设计和制作具有两对同源染色体的减数分裂过程模型，标出两对等位基因在染色体的位置，并模拟非等位基因随非同源染色体而自由组合的情况。

二.运用模型方法解释生物学规律

高中阶段已经进行了文理分科，由于学生的个体的差异，认知水平参差不齐，许多文科学生对一些逻辑性较强的生物学规律难以理解，这往往形成了教与学的难点，例如：“非等位基因随非同源染色体的而自由组合”这一知识点，如何在教学中化难为易，是生物教学中恒久的课题。模型的直观性给与学生深刻的感性材料，通过亲手制作模型学生从中体验到平时肉眼无法观察到的生物学现象，解释生物学规律，难点也就迎刃而解。

【例3】制作含两对同源染色体的细胞进行减数分裂的物理模型，解释非等位基因随非同源染色体而自由组合的现象和规律。

教师提出模型建构的基本方法和要求：

①小组合作完成（两人一小组）；

数学建模的两种基本方法范文篇12

智能卡从不同的角度有多种分类方法，例如，从智能卡的应用结构不同，可以将其分为多应用智能卡、单应用智能卡。其中，多应用智能卡中又包含不支持动态应用管理的Native卡以及支持多应用动态下载的Java卡。Java卡是一种可以运行Java程序的CPU智能卡，使用Java卡平台创建的智能卡上存有Javaapplet，Java卡使多个应用程序被安装并且各自独立地共存。

目前，专一功能的智能卡覆盖了我国金融、电信、社会保障等多个领域，改变了人们沿袭多年的现金支付方式，大大方便了人们的生活，提高了效率。各行业发行的具有支付功能的智能卡应用于生活、生产的各个领域，不同行业的智能卡之间互不兼容，不仅造成社会资源的浪费，与低碳生活的理念背道而驰；同时卡的种类和数量过度繁多，也给人们生活带来不便，浪费了很多不必要的时间。因此，多应用智能卡是智能卡行业发展的必然趋势，它不仅可以使我们的生活更加便捷，而且也符合了时下低碳、环保、节能的生活理念。

1多应用智能卡的文件系统

目前，最广为人知的智能卡标准就是ISO7816，此标准主要定义了塑料基片的物理和尺寸特性，触点的尺寸和位置，信息交换的底层协议描述，以及跨行业的命令集等等。ISO7816标准支持两类文件：DF（DedicatedFile）和EF（ElementaryFile），在下面的我们将对这两类文件做详细介绍。

智能卡中，用户的应用数据都存放在智能卡的EEPROM中，以文件形式组织。智能卡文件系统是由专有文件DF（DedicatedFile）和基本文件EF（ElementaryFile）组成的。卡内数据的逻辑组织结构由专有文件DF的结构化分级组成。在根处的DF称为主文件（MF）。MF是必备的，其它DF是任选的。基本文件又分为内部基本文件和工作基本文件。其中内部基本文件存放的数据由卡进行解释，即为了达到管理和控制的目的，由卡来分析和使用这些数据；而对于工作基本文件，卡不能对文件中的数据进行解释，而是由外界来使用这些数据。

对于智能卡文件系统中的三种文件类型：MF、DF、和EF，图1给出了这三种文件的关系。其中，MF（第1级）为根文件，是必须有的，卡片中只能有一个MF文件。它是在卡的个人化过程被首先建立起来，在卡的整个生命周期内一直保持有效，可存储卡片的公共数据信息并为各种应用服务。卡片复位后，自动选择MF文件为当前文件。DF（第2，3，...级）是可选的。包含用户设置的系统信息和应用相关数据，在MF下DF的数量只取决与卡片容量和用户的应用，它也可以包含若干的DF。基本文件EF是文件结构的末端，只包含系统信息、内部数据或用户数据。基本文件EF从结构上可分为四类，分别是透明结构、线性定长结构、线性变长结构和环形结构[4]。

2多应用智能卡形式化建模现状

在复杂的智能卡中，逻辑攻击是非常敏感的，也就是说多应用智能卡的安全极易受到威胁。以下列出了在设计智能卡过程中几条防止逻辑攻击的策略：

1）结构化设计：在卡中构建小的函数模块，这样可以更加简单地理解和校验。

2）形式化验证：使用数学模型去验证函数的稳固性。

3）测试：对软件的运行情况进行测试。

智能卡应用系统的安全环境很复杂，对智能卡的保护仅靠以上三条是远远不够的，但是若在设计层面能尽可能地保证智能卡的安全性，在智能卡使用过程中就会在很大程度上减少智能卡的不可靠性[5]。

智能卡的安全机制保障了所下载的应用是无害的，并且遵循与初始化及访问控制相关的基础策略。这样的基础策略均为所有的智能卡必须遵循的基础。所以，要来验证安全机制是否遵循了这些基本策略是很重要的。因此，一个智能卡安全的重要的形式化方法应用是验证平台，验证平台旨在提供Java平台和安全机制的抽象模型，并且验证智能卡的安全功能是可靠的。然而，这不能充分说明我们对安全功能的设计是正确的，更不必说我们还需要保证智能卡其它部分也是安全可靠的：Java卡的API和GP（GlobalPlatform）规范的API是智能卡组成的重要部分，两个API的正确设计是对安全的核心需求。因此，对于平台验证的另一个重要的方面就是展示API是不是被正确设计了。

平台验证对于智能卡的安全保证来讲是最为基础的一步，并且是通用标准评估的先决条件。然而，Java卡安全机制所提供的保障都是限制性的，并且进一步对应用是否对基础设施合法使用进行了验证，同时不可以尝试任何敌对性的动作。所以，应用认证对智能卡的形式化方法来讲是另一个重要的应用。平台验证和应用确认是保证智能卡安全的两个重要方面[6]。

形式化方法是提高系统安全等级必不可少的保障技术。形式化方法使用谓词逻辑、集合、关系等数学元素和原理表达系统中的部件及其运动规律，形式化方法的使用过程及形式规范、求精和实现等几个阶段，可以用于保证系统初始规范和后续过程的正确性和一致性。目前比较著名的形式化方法有Z语言，和由Z语言发展而来的B语言以及Event-B语言。

下面着重分析多应用智能卡中形式化方法的研究现状。

2.1Z方法

2.1.1Z方法简介

Z方法[7][8]最初是由法国学者Jean-RaymondAbrial等人设计的一种基于一阶谓词逻辑和集合论的形式规格说明方法，它采用了严格的数学理论，可以产生简明、精确、无歧义且可证明的规格说明。

Z方法的核心是模式，它有两种模式：状态模式和操作模式。状态模式定义目标软件系统某一部分的状态空间及其约束特性。操作模式[9]描述了系统某部分的行为特征，它通过描述操作前该部分的状态值和操作后该部分状态值之间的关系来定义系统该部分的一种操作特性。模式还可以修饰，模式修饰的作用是将修饰应用到被修饰模式的声明部分中所有的变量[10]。

2.1.3Z方法的应用：电子钱包

Z语言具有灵活且扩展性良好的特点，在安全应用系统开发实践过程中获得了巨大的成功。例如电子钱包系统规范就是运动了Z方法进行形式化描述。

电子钱包的形式化模型[11]主要包括两个部分：抽象模型和具体模型。在电子钱包系统的抽象模型中，描述了整个钱包和电子交易的过程（如图2），包括请求、支付和确认支付等步骤，表达了卡片必须遵守的安全属性。在具体模型中，反映了钱包在交、

抽象模型的大致构建思路为：单个的电子钱包包括余额。可能损失的数额两个组件，在单个电子钱包的基础上，可以将系统本身定义为电子钱包的集合体，在这里，每个钱包都有一个独立唯一的名字。在此基础上，建立从名字到钱包之间的映射，其自变量域是转账过程中要涉及到的已认证过的钱包，这样就形成抽象系统空间。电子钱包的操作模式有两类：输入和输出，即转入和转出。在抽象模型的基础上，对该形式化模型进行精华，可以对系统的组件和操作进行实例化，添加某种安全性质或消除某项安全假设，从而构造出更接近于实现的一个具体模型，并使其符合原有抽象模型的性质和要求[12]。

2.2B方法

2.2.1B方法简介

B方法[13]是一种用于描述、设计计算机软件的方法，支持在从抽象到具体的各个层而上对软件规范进行描述，覆盖了从规范说明到代码生成的整个软件开发周期。B方法定义了一套数学推理和符号描述，支持在不同抽象层面上对软件规范的内在一致性和功能正确性进行严格的数学证明.人们已开发了一些商用和开源工具，支持基于B方法的软件开发过程，支持自动或交互式的软件规范证明.使用B方法进行软件开发与传统方法不同之处在于工程师先在抽象层面上（而不是最终在常规编程语言层面上）严格描述软件功能，可以完全没有执行的概念，可以摆脱实现细节的干扰，只描述所开发软件的最根本最重要的属性，并严格证明其性质，为后面开发出更可靠的系统打下坚实基础。而在常规开发过程中，前期工作一直用非形式文档，其内在一致性和功能正确性没有严格保证，只能靠人工检查.

用B方法描述软件的基本单元是抽象机，抽象机类似于我们常说的抽象数据结构，包括：数据描述（常量、变量等）、操作描述（数据上的一组操作）、不变式（数据状态必须满足的一组关系）。

要保证一个抽象机M的描述是完整的无矛盾的，需要证明由抽象机生成的不变式定理：

1）M的所有可能初始状态都满足它的不变式

2）从任何满足M的不变式的M抽象机状态出发，执行M的任何操作，可能达到的状态必定满足M的不变式。

3）不变式定理和其他要证明的定理称为证明义务”，如果能证明由抽象机M生成所有不变式定理，M就是无矛盾的。

2.2.2B方法的工具：Atelier-B

Atelier-B是由ClearSy开发，操作使用B形式化方法的证明工业工具软件。用于由阿尔斯通和西门子等手工开发，对世界上各种地铁安全自动化进行建模。根据通用标准”发展模型系统，由Atmel公司和意法半导体（ST）进行标准认证。也被用于其他一些行业，如汽车电子3个车型经营原则的建模。

Atelier-B中的主要工具及其关系如上图所示。其中，BCompiler是最核心的部分。用于分析B模型的语义，证明类型的统一性、构造规则以及模型在B项目中的可见性。因此，是一个允许新应用产生的强大的库。

最后，我们介绍一下Atelier-B的用户界面。在运行Atelier-B之后出现的界面中，主要显示项目中的组成部分以及证明结果，即类型是否一致，产生多少证明义务，以及成功证明和失败证明的数量。双击项目名称可编辑项目，即图中最上面一层窗口，会显示组成部分的具体信息以及之间的关系。图中中间一个窗口时证明窗口，显示证明义务是否成功证明，以及失败的原因。[13]

智能卡是由许多逻辑和物理组件组成，旨在在发行者控制的环境中，使应用程序具备安全性和互用性。

Java卡不提供标准的机制来管理卡中的应用。为了从这样的机制中获取便利，大多数的Java卡同样实现GP规范，GP给多应用智能卡的管理机制提供了已经的工具。GP机制使用两种截然不同的规格详细描述，两种分别描述卡的功能需求以及其相关的安全需求。智能卡的安全很强地依赖于GP的正确设计和实现，但是现在很少有使用形式化方法来分析GP的，B方法则是其中的一个例外。

参考文献：

[1]王爱英.智能卡技术——IC卡[M].3版.北京：清华大学出版社，2009.

[2]张之津.智能卡安全与设计[M].北京：清华大学出版社，2010.

[3]刘玉珍，张焕国.多应用安全智能卡结构的研究[J].武汉大学学报（理学版），2006，52（1）：87-91.

[4]李晓航.认证理论及应用[M].北京：清华大学出版社，2009.

.InformationSecurityBulletin，2002.

[6]GillesBarthe，GuillaumeDufay.FormalMethodsforSmartcardSecurity[R].page9

[7]Jean-RaymondAbrial."DataSemantics"[C].inKlimbie&Koffeman，DataBaseManagement，North-Holland，pp.1-59.

[8]Jean-RaymondAbrial，Schuman，StephenA；Meyer，Bertrand（1980），"ASpecificationLanguage"[C].inMacnaghten，AM；McKeag，RM，OntheConstructionofPrograms，CambridgeUniversityPress，ISBN0-521-23090-X.

.

[10]夏建勋，唐红武.需求分析的Z语言形式化方法[J].科学技术与工程，2008，8，（8）：2245-2248.

[11]李改成.安全应用系统的形式化规范与求精过程研究[J].信息网络安全，2009（5）.

[12]AbrialJ.TheB-Book：AssigningProgramstoMeanings[M].CambridgeUniversity，November3，2005.