数学建模的教程篇1

关键词：数学建模；大学数学；基础理论教学；能力培养

作者简介：于林（1965-），男，山东滨州人，三峡大学理学院，教授。（湖北宜昌443002）

基金项目：本文系三峡大学教学研究项目（项目编号：J2010057）的研究成果。

中图分类号：G642.1文献标识码：A文章编号：1007-0079（2013）32-0124-02

大学生数学建模竞赛和数学建模活动在对大学生创新能力培养和数学技术应用能力培养中的重要作用已经是一个不争的事实，而在大学数学课程教学中融入数学建模思想的理念也被广大的数学教师所公认，并且取得了许多宝贵的实践经验。但是，在众多关于此问题的教学研究文献中，基本上都是仅仅就高等数学课程中那些本身就具有很强的应用性的数学方法和数学技术介绍了其在数学建模中的一些应用实例，而难得见到有关如何将原始的数学概念和抽象的数学定理的教学与数学建模相互联系的研究和分析。本文旨在通过对概率统计中两个最原始的概念（概率空间与统计结构）和高等数学中一个最抽象的定理（Weierstrass定理）的教学中如何融入数学建模思想的分析，揭示了在大学数学核心课程的教学中，数学建模与深化学生对基本概念的理解以及加强对抽象数学理论的实际应用能力的培养之间的关系。目的在于进一步探讨如何借助数学建模来激发学生对数学课程的学习兴趣，深化学生对抽象理论的理解。

一、最原始的概念，最基本的模型

众所周知，概率论和数理统计理论中有两个最原始的基本概念，一个是概率空间，另一个是统计结构（或者统计模型）。通常在“概率论与数理统计”课程教学中一般总是这样进行的，在给定了概率空间（Ω、F、P）之后，研究定义在其上的随机变量及其分布等性质；在给定了统计结构（或者统计模型）之后，研究其上的样本、抽样分布及其由此而建立起来的统计推断问题。例如，一般的课本上几乎都是主要介绍建立在“正态分布总体”这样一种统计结构上的统计推断理论的。但是，只要稍微仔细思考一下，就会发现一个被忽略的问题：这种作为研究起点的所谓“概率空间”和“统计结构”是怎么来的？这一问题一般情况下被教师和学生所忽略，因为同学们只需要会做课后的习题就够了，而在每一个习题里这些所谓的“起点”早就被题目的设计者给设计好了。于是，时间久了，同学们也就习惯了，很容易由此而造成一种假象，似乎这些作为“起点”的东西是天生的，或者是自然就有的，很容易对这一课程中最基本的两个概念缺乏必要的理解。

然而，如果将这一问题与数学建模结合起来则情况就大不一样了。对于数学建模，任务不再是求解那种被人设计好的习题，而是面对的各类实际问题。运用概率分析的方法或者统计分析的方法对这些实际问题进行研究，但是概率分析理论、统计分析理论都不能直接作用于任何实际问题，这就需要首先确定这一实际问题所对应的“概率空间”或者“统计结构”是什么。事实上，“概率空间”就是架设在实际问题和概率分析理论之间的一座桥梁，而“统计结构”即是贯通在实际问题和统计分析理论之间的一条隧道。随机数学建模或者统计分析建模从对“概率空间”和“统计结构”的建立就已经开始了。

1.概率空间

（1）随机现象与随机试验。数学建模的研究对象都是一些实际的问题，如果这一实际问题表现为具有某种随机性的时候则被认为是一种随机现象，因此准备运用概率分析的方法进行研究。但是，概率理论直接的研究对象并不是随机现象，而是为研究随机现象所作的随机试验（RandomExperiment）。为简单计，今后凡是在概率论中的随机试验皆简称为试验，并记之以英文字母E。对于数学建模者需要指出的是：对于同一随机现象，根据研究者的研究目的和研究方法的不同可以设计不同的随机试验。

例如，某同学打篮球投篮，这当然是一个随机现象，因为他可能投中也可能投不中，也就是说他每次投篮是否能投中具有随机性。假设现在要考察该同学投篮的命中率，可以设计如下两种不同的随机试验。试验E1是让该同学先后投篮10次，看他其中能投中几次；试验E2是请该同学连续投篮直到投中为止，看该同学共需要投几次才能投中。由于所设计的随机试验不同，因而所产生概率空间就不同，以后所运用的概率分析方法也就不一样。

（2）样本空间。当确定了随机试验E之后，称试验E的每一个可能结果为样本点（SamplePoint），并称由全体样本点的集合为试验E的样本空间（SampleSpace），并分别用希腊字母ω和Ω表示样本点和样本空间。

例如，对于上述的两个试验，试验E1的样本空间可以表示为，其中表示该同学在该次试验中共投中k个球；试验E2的样本空间可以表示为，其中表示该同学在该次试验中总共的投篮次数。注意，是一个有限样本空间，而则是一个无限样本空间。

（3）几何概率模型的实例。几何概率在现代概率概念的发展中起到了非常重大的作用。在19世纪，人们一度认为任何概率问题都有唯一的解答，然而JosephBertrand在1888年提出的一个问题改变了人们的想法，这就是贝特朗奇论（Bertrand’sparadox）。

Bertrand奇论：在一半径为1的园内“任意”作一弦，试求此弦长度l大于园内接正三角形的边长的概率P。

解法1：由于对称性，可预先固定弦的一端。仅当弦与过此端点的切线的交角在60°～120°之间，其长才合乎要求。所有方向是等可能的，则所求概率为1/3。

解法2：由于对称性，可预先指定弦的方向。作垂直于此方向的直径，只有交直径于1/4点与3/4点间的弦，其长才大于内接正三角形边长。所有交点是等可能的，则所求概率为1/2。

解法3：弦被其中点位置唯一确定。只有当弦的中点落在半径缩小了一半的同心圆内，其长才合乎要求。中点位置都是等可能的，则所求概率为1/4。

于是得到了三个不同的答案，原因是什么呢？这是因为三种解法中使用了三个不同的随机试验，从而得到三种不同的概率空间。解法1的样本空间Ω1是全圆周；解法2的样本空间Ω2是直径上点的全体；解法3的样本空间Ω3是二维区域C。这一例子说明，对于同一个问题，由于构造了不同的概率空间而可以得到不同的结论。相对于各自的概率空间，每一种解法都是正确的，而概率空间即是最基本的数学模型。

2.统计结构

（1）对统计总体的认识。正如“概率空间”是概率研究的起点一样，“统计结构”（或称统计模型）则是统计分析的起点。数理统计学就是这样一门学科：它使用概率论和数学的方法，研究怎样收集（通过试验或者观察）带有随机误差的数据，并在设定的统计结构（或称统计模型）之下，对这种数据进行分析（称为统计分析），以对所研究的问题做出推断（称为统计推断）。

面对应用中遇到的实际问题，统计结构是如何得来的呢？首先，来看一下如何认识统计的总体。所谓统计总体是指具有某种分布的随机变量（或随机向量）。所以，通常总体记为随机变量ξ，它服从某分布（族）P。

（2）统计结构（统计模型）。统计总体的随机变量量ξ及其服从的分布P统称为统计结构（或统计总体），P代表的实际上是一族分布函数。如果已经知道P的分布类型，即已知分布函数的类型，只是对其中的某个或者某几个参数θ未知，则问题就归结为根据样本值推断参数θ究竟取何值为好。此类统计模型就是参数模型，涉及的统计问题就是参数统计问题。如果连分布函数的类型也知道得很少，以至于不能给出参数模型，那么问题就成为非参数统计问题。

以对某物理量的测量问题为例：假设有某物理量μ，采取多次测量的方式以求得到该物理量真实值μ的估计。如何建立统计模型呢？

模型一：设总体随机变量，其中，所以

该研究者认为：测量仪器工作状态稳定，可以认为测量结果只存在随机误差。根据误差分析理论，此时有理由认为误差服从正态分布，由此总体随机变量。其中均值μ和方差都未知。所以该模型是一个含有两个未知参数的正态分布函数族。

现在再设想，假如该项测量工作是由一个非常专业的测量团队来完成的，因此事前可以假设测量的精确程度是已知的，即可以假设上述的方差已知，且取值为，于是又有如下模型。

模型二：设总体随机变量，其中，所以

当然，与建立模型二时相反，建模者可能十分悲观，或者事实上也是如此，这就是事前对该总体的信息收集实在太少。研究者只能肯定的是测量者既不会有意把数据夸大，也不会有意缩小，也就是测量所得的随机变量关于真实值应该是左右对称的，除此之外没有其它信息了。这样就只能设置模型如下：

模型三：设总体随机变量{对称分布}。

模型三得到的只是一个非参数统计模型，因此决定了首先必须运用非参数统计进行分析和研究，这较之前两种模型要复杂得多。

二、最抽象的定理，最直接的应用

1.Weierstrass定理

有界闭区间上连续函数的性质表现为一系列十分抽象的定理，Weierstrass定理是其中的一个。一方面，从理论上讲，它们在微积分理论体系中具有非常重要的地位；而另一方面，它们在形式上十分抽象。因此，一般情况下，学生们会认为其没有实用价值。其实正好相反，在数学建模中Weierstrass定理就经常被用到。该定理说：如果是上的一个连续复函数，那么便有多项式的序列，使得在上一致地成立。如果是实函数，则是实多项式。

2.在数学建模中的一个应用

土豆施肥效果分析：在土豆生长期间，施用不同量的氮（N）和钾（K）肥，土豆产量结果见附表1，求土豆产量与施肥量之间的关系。

首先，为了计算方便，对数据作中心标准化处理，即令：

，

如果说，施肥量x1、x2与土豆产量y有很密切的关系，则应该有，其中可能是线性函数，也可能是非线性函数，探求的具体形式是本题的目的，需要用回归分析方法。

（1）失败的线性回归模型。通常情况下，同学们首先想到的是线性模型：。根据最小二乘法计算得回归方程：。但是这个模型的效果究竟如何呢？计算多重判定系数得。显然，该线性模型对所给数据的拟合效果很差，由对数据的直观观察亦可以看出，用线性模型去拟合所给数据是不合适的。

（2）有效的多项式回归模型。显然，所求的函数关系肯定不是线性函数，而一定是一个非线性函数。然而，非线性函数有无数种，最有可能是哪一种呢？此时，Weierstrass定理帮了大忙。其实，无论是什么样的非线性函数，总可以用多项式去逼近。因此，可以考虑为多项式函数，且不妨从最低阶的二次多项式开始。

设模型为：，

同样根据最小二乘法计算得回归方程：。经计算多重判定系数为：。由此可知该模型拟合效果非常好，问题得到圆满解决。

三、结论

由上述实例分析可见，恰当地将数学建模融入大学数学课程教学，不仅有利于对学生数学应用能力的培养，而且更重要的是还可以帮助学生对抽象的基本概念和理论的理解。因此，对于更多的抽象概念和定理，如何引入适当的数学模型是一个非常值得进一步详细探讨的问题。

参考文献：

[1]李大潜.中国大学生数学建模竞赛[M].第四版.北京：高等教育出版社，2008.

数学建模的教程篇2

关键词：数学教师教育；课程建设；教学改革

一、数学教师教育模块的课程建设与教学改革的出发点

陕西师范大学数学与应用数学专业为教育部第一批高等学校部级特色专业（教高函（2007）25号），陕西省人才培养模式创新实验区项目（陕教高（2009）48号），陕西省专业综合改革试点项目（陕教高〔2012〕15号），985教师教育优势学科创新平台项目专业建设项目（陕师校发（2009）133号）。在专业的建设和改革过程中，数学教育学团队主要承担了数学教师教育模块的课程建设和教学改革等相关任务。

结合教育部《关于大力推进教师教育课程改革的意见》和教育部印发的《中学教师专业标准（试行）》，依据我国正在推进的中小学数学课程改革对教师提出的新要求，根据陕西师范大学2+2人才培养模式的特点与要求，数学教师教育模块的课程建设与教学改革需解决以下几个主要问题，这些问题也是课程建设与教学改革的出发点。

一是在教育部大力推进教师教育课程改革及数学课程改革对教师教育提出新挑战的背景下，在教育部直属六所师范大学实施免费师范生教育并对师范生教育提出新要求的背景下，如何确定数学教师教育模块课程目标？主要的设想是：将促使学生自主获取知识、自发思考教学、自觉参与训练、提高教学能力作为该模块课程的首要目标，并真正为学生将来成长为优秀的数学教师和教育家奠定基础。

二是如何通过建设合理的课程结构，引入开放的教学体系，既使学生掌握必备的数学教育理论，又使学生形成基本的数学教学能力？初步的构思是：从学科理论和教学案例的有效融合，从理论学习和实践训练的有机结合两个方面重新构建课程内容，灵活运用多种教学方式，真正实现学生对理论从表面了解到深层理解、对实践从直观感知到深度参与的由浅入深式的双向推进。

三是在完成模块课程建设后，如何对教学方式从各个环节进行深层的、创意的改革，有效促成学生数学教育理论的习得和数学教学能力的提升？基本的想法是：第一，在课堂教学中运用启发式、探究式、讨论式、参与式的教学方式，激发学生学习的参与性与积极性，进而提高课堂教学效果；第二，根据课程特点创新学习评价方式，注重实践能力考查、注重过程评价、注重多元评价，将理论学习与技能训练、课内教学与课外竞赛（如教学比赛、说课比赛、板书比赛等）、过程评价与结果评价均有机地结合在一起。

二、数学教师教育模块的课程建设与教学改革的发力点

在基本厘清课程建设与教学改革的问题基础上，初步明确建设的目标与改革的方向，并将课程目标、课程内容、教学方式、评价方式作为发力点，进行课程建设与教学改革。

1.课程目标的重新定位

将促使学生自主获取知识、自发思考教学、自觉参与训练、提高教学能力作为该模块课程的首要目标，真正确立学生在学习中的主体地位，明确教师是学生学习的引导者、组织者和合作者，在教学过程中同时渗透问题意识、团队意识、合作精神、批判精神、缜密思维、严谨作风的训练和培养，为学生成长为优秀的数学教师和教育家奠定全面基础。

2.课程内容的重新构建

充分考虑当前数学课程改革对教师的新要求，从历史与现实的结合上，课程内容既要帮助学生掌握数学教育的基本理论，又要帮助学生了解数学教育的新近发展；从理论与实践的结合上，既要有理论传承内容，又要有实践训练内容。同时，通过鲜活的、经典的教学案例，直观地、生动地集中传递数学教育的理念与方法。构建的数学教师教育模块课程结构具体如下：

3.教学方式的灵动开放

在教学过程中，除了教师讲授这一传统教学方式以外，更多地采用了启发式、探究式、讨论式、参与式教学，引导学生主动地获取知识，而不是被动地接受知识；引发学生积极地思考问题，而不是消极地等待结论。有些教学理论知识，组织小组或者个人查阅文献，梳理以后并向全班同学汇报展示，其间可以组织学生讨论。有些实践性较强的操作，如教材分析、教学设计、课件制作等，可让学生先行独立完成，然后教师结合相关理论进行具体剖析，挖掘其亮点，找出其缺憾，这样不再只是单纯讲授抽象理论，选用来自于同伴的案例，生动鲜活形象，学生兴致很高。

4.评价方式的灵活调整

根据该模块课程的具体目标与内容特点，对学生的学习评价进行了灵活的调整：一是适度下调理论成绩比例，加大实践能力成绩比例。如课件制作、教材分析、教学设计、技能训练都具有很强的实践性，为此加大了实践操作的考查力度；二是适当下调终结性评价比例，加大过程性评价比例，发挥过程性评价对学生学习的积极导向作用；三是注重多元评价，评价的主体增加了，评价的方法丰富了，这样评价更加客观全面。

三、数学教师教育模块的课程建设与教学改革的创新点

在数学教师教育模块课程建设与教学改革过程中，

也形成了一些创新点，具体如下。

1.课程结构的创新性

从社会发展对数学教师的要求为出发点，构建了“核心课程+拓展课程”的数学教师教育课程结构，从理论与实践两个层面全面支持和全力服务学生从数学教育的直观感知到教学场景的教育实习的全程性的学习和训练。

2.课程内容的整合性

从数学教师教育的实际出发，课程内容在选择和安排时有机整合了数学教育的理论性知识和实践性知识，有效融合了数学教育学的经典理论与数学教育学的最新成果，有机融汇了数学教育理论与数学教学案例。

3.教学方式的开放性

教学方式从封闭走向开放，将学生置于学习的中心，将话语权、探究权、讨论权、参与权还给学生，教师则定位于学生学习的引导者、组织者和合作者，重点引发学生主动学习，引导学生积极参与，同时培养学生的问题意识、团队意识、合作精神、批判精神、缜密思维、严谨作风等。无论灵活的教学方式，还是浓厚的课堂氛围，或是显著的教学效果，都生动地诠释了开放性教学方式及其优点。

4.评价方式的灵活性

数学建模的教程篇3

关键词：数学建模；图论；实践

中图分类号：G642.0文献标志码：A文章编号：1674-9324（2013）45-0233-03

一、引言

图论是组合数学的一个重要分支。它以图为研究对象，这种图由若干给定的点及连接两点的边所构成，通常用来描述某些事物之间的某种特定关系，以点代表事物，以连接两点的边表示两个事物间具有这种关系。图论的应用非常广泛，在实际的生活生产中，有很多问题可以用图论的知识和方法来解决，其应用性已涉及物理学、化学、信息论、控制论、网络理论、博弈、运输网络、社会科学以及管理科学等诸多领域。目前高校很多课程都涉及到图论知识，例如离散数学、数据结构、算法分析与设计、运筹学、组合数学、拓扑学、网络优化等。甚至有些专业将图论作为一门必修或选修课程来开设。

由于图论课程具有概念多、公式复杂和定理难证明、难理解等特点，在一定程度上造成教学难，证明抽象度高，学生难以理解，学生不能真正理解图论思想，更谈不上灵活运用图论知识来解决各种实际问题。从而会使学生感到图论的学习非常枯燥。大学数学课程教学改革的趋势，越来越注重数学的应用性，而数学建模过程就是利用已经掌握的数学知识来解决实际问题的过程。在当前实现数学作为一种应用能力的过程中，使用数学解决实际问题的能力培养是非常重要和必需的。因此，在大学数学类课程的教学中融入数学建模思想是目前数学课程教学改革的一个大的趋势。由于图论的概念和定理大多是从实际问题中抽象出来的，因此图论中的诸多模型和算法是数学建模强有力的理论依据。所以在图论课程教学中注重介绍这些概念和理论的实际背景，引导学生利用数学建模思想方法学习图论的相关概念和定理，探究图论的发展规律，从而将更好地帮助学生理解和掌握这些概念和理论。

二、数学建模思想方法

数学模型就是用数学语言，通过抽象、简化，建立起来的描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构。这个结构可以是公式、方程、表格、图形等。把现实模型抽象、简化为某种数学结构（即数学模型）之后，我们就可以用相关的数学知识来求出这个模型的解，验证模型的合理性，并用该数学模型所提供的解答来解释现实问题，这个过程便称为数学建模。其目的是将复杂的客观事物或联系简单化并用数学手段对其进行分析和处理。建立数学模型解决现实问题要经过模型准备、模型假设、模型构成、模型求解和模型分析这五个步骤。模型准备就是了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必要的各种信息，尽量弄清对象的特征，形成一个比较明晰的“问题”。模型假设是根据对象的特征和建模目的，抓住问题的本质，做出必要的、合理的简化假设。模型构成是根据所作的假设，用数学的语言、符号描述对象的内在规律，建立包含常量、变量等的数学模型。模型求解是采用解方程、画图形、优化方法、数值计算、统计分析等各种数学方法，特别是数学软件和计算机技术求解。模型分析就是对求解结果进行数学上的分析，并解释为对现实问题的解答。由此可见，思想数学建模就是将数学的理论知识应用于解决实际问题，培养数学建模思想就是锻炼应用数学的能力。

在图论的教学中引入数学建模思想，将生活中的实际问题引入课堂，利用图论知识分析实际问题，让学生感受到图论贴近生活。教学中可以引导学生自己寻找与图论相关的实际问题，利用图论知识建立实际问题的数学模型，并进行报告和讨论，让学生发表自己的见解和看法，在此过程中有助于学生对所学知识的融会贯通和掌握，大大提高学生学习图论的兴趣。

三、数学建模思想方法融入图论教学的实践

目前，各门数学课程教学改革所面临的一个课题是如何增强应用数学知识解决实际问题的意识。在这样的背景下，加之图论知识的应用广泛性，从而，将数学建模的思想方法融入到图论课程教学中的研究和实践已显得刻不容缓。因此，结合图论教学内容有机地增加数学建模教学内容，使广大的学生能学习和体会到数学建模的基本思想方法，在日常的学习中培养学生应用图论知识的意识，激发了学生学习图论的积极性。

（一）在图论定理公式中渗入建模的案例

在图论某些定理证明的教学过程中可以适当地融入数学建模的思想与方法，把定理的结论看作一个特定的模型，需要去建立它。于是，当把定理的条件看作是模型的假设时，可根据预先设置的问题，情景引导学生发现定理的结论，从而定理证明的方法也随之显现。

案例1：设为任意无向图，V={v1，v2，…，vn}，|E|=m，证明所有顶点的度数和=2m，并且奇点个数为偶数。

解析：证明该结论之前，首先任意选取若干个学生让其随机互相握手，并记下每个人的握手次数和每两人之间握手的次数，由此可得每个人握手次数总和是每两人之间握手次数的2倍以及握过奇数次手的人数一定是偶数。互动之后介绍该定理称之为握手定理，从互动过程中可以建立定理结论的模型，并且证明的思路也是显而易见的。

（二）在应用性例题中渗入数学建模的方法

案例2：一家公司生产有c1，c2，c3，c4，c5，c6，c7七种化学制剂，其中制剂（c1，c2），（c1，c4），（c2，c3），（c2，c5），（c2，c7），（c3，c4），（c3，c5），（c3，c6），（c4，c5），（c4，c7），（c5，c6），（c6，c7）之间是互不相容的，如果放在一起能发生化学反应，引起危险。因此，作为一种预防措施，该公司必须把仓库分成互相隔离的若干区，以便把不相容的制品储藏在不同的区，问至少要划分多少小区，怎样存放才能保证安全。

解析：首先建立模型，用图来表示实例中这些制剂和他们之间关系，用顶点v1，v2，v3，v4，v5，v6，v7，表示c1，c2，c3，c4，c5，c6，c7表示七种化学制品，把不能放在一起的两种制品对应的顶点用一条边连接起来，如图1。

模型求解：由图可得极小覆盖的逻辑表达式为：

（v1+v2v4）（v2+v1v3v5v7）（v3+v2v4v5v6）（v4+v1v3v5v7）（v5+v23v4v6）（v6+v3v5v7）（v7+v2v4v6）

利用逻辑代数法则简化上述逻辑表达式为：

v1v3v5v7+v2v3v4v5v6+v2v4v5v6+v2v3v4v6

从而可得全部极小覆盖为：

（v1，v3，v5，v7），（v2，v3，v4，v5，v7），（v2，v4，v5，v6），（v2，v3，v4，v6）

由于极大独立集与极小覆盖集之间互补的关系，所以上图的所有极大独立集为（v2，v4，v6），（v1，v6），（v1，v3，v7），（v1，v5，v7）.取图G的一个极大独立集V1=（v2，v4，v6），将其着第一种颜色。在VG-V1中，所有极大独立集为，（v1，v3，v7），（v1，v5，v7），取V2=（v1，v3，v7）将其着第二种颜色。在VG-V1-V2中仅有点v5，将其着第三种颜色，故χ（G）=3.

于是得到该化学制品的存放方案：至少需要把仓库划分为3个区，可以将c2，c4，c6三种制品，c1，c3，c7三种制品和制品c5分别存放在一个区。

（三）设计相关数学建模问题，提高学生应用图论知识解决实际问题的能力

由于教学课时的限制，将数学建模的思想方法融入图论课程教学时，不能专门地让学生学习建模，只能通过一些简单的模型给学生介绍数学建模的思想及方法。图论是现代数学的一个重要分支，在自然科学、社会科学、机械工程中有重要的意义，其求解思想渗透到自然学科的各个领域。因此，可以通过设计一些与图论课程相关的课外建模活动，选择符合学生实际并贴近生活的一些图论问题，启迪学生的论文查阅意识和能力，指导学生阅读相关论文，最后以解题报告或小论文的形式提交他们的结果。促进学生应用图论知识解决实际问题的能力。

四、结语

将数学建模思想方法融入图论课程的教学中，使图论课程教学与数学建模有机结合起来，激发学生学习图论的兴趣，培养学生勇于探索的精神，提高学生的动手能力，实践表明这些方法能较好地提高图论课程的教学效果。

参考文献：

[1]BondyJA，MurtyUSR.Graphtheorywithapplications[M].North-Holland：Elsevier，1976.

[2]翟明清.浅析图论教学[J].大学数学，2011，27（5）：23-26.

[3]定向峰.将数学建模的思想和方法融入图论课程教学中的一点尝试[J].重庆教育学院学报，2006，19（6）：28-31.

[4]张清华，陈六新，李永红.图论教育教学改革与实践[J].电脑知识与技术，2012，8（34）：8235-8237.

[5]姜启源，谢金星，叶俊.数学模型[M].第4版.北京：高等教育出版社，2011.

数学建模的教程篇4

关键词：新课程体系；小学数学；探究式教学；教学模式；构建

传统的小学教学模式主要是以教师为课堂主体，以书本及黑板为主要载体，对学生进行教学的一种模式，在这一模式下，学生只能被动地去接受知识，这对于学生独立思考能力及自主学习能力的提高具有重要作用。同时，将探究式教学模式应用到小学数学教学过程中，还能够有效地改变以往小学生数学水平普遍不高的状况，从而使其能够奠定更加坚实的数学基础，为其长远发展提供保证。

一、小学数学探究式教学概述

探究式教学是新课程标准下一种新型的教学模式，根据探究式教学模式的要求，教师应改变以往的主体地位，变为课堂的主导，引导学生去对数学知识进行主动的探索，从而形成对数学知识的基础性认识。相对于传统的教学方式而言，这一教学模式将主体地位转交给了学生，对于学生独立思考能力的培养具有重要价值。

总的来说，小学数学探究式学习的主要目标包括培养学生的数学思维以及提高学生的创新能力两个方面。首先，探究式教学要求教师在授课之前便对教学目标进行确定，在课堂上，教师要通过对探究式活动将学习知识的主动权交给学生，要求学生通过互相讨论以及探究的方式去了解知识，解决问题，从而使小学生的数学思维能够得到有效的培养。其次，探究式教学模式要求学生能够举一反三，在了解知识的基础上，尽可能广泛地对其进行应用，除此之外，学生还要通过发散性思维尽可能多地去构建解题思路，这对于学生创新能力的培养十分有利。

二、新课程体系下小学数学探究式教学模式的构建思路

在新课程体系下，小学数学探究式教学模式的构建可以通过以下手段来完成：

1.构建教学模型

构建教学模式是将探究式教学更好地应用到小学数学教学过程中的一个前提。教学模型的构建需要在课前完成。课前，小学数学教师一定要做好教学准备，要根据此次课程的教学目标对教学模式以及教学过程进行确定，从而使教学过程能够更加具有针对性。例如，在学生学习认识数字时，教师可以提前要求学生准备火柴棍等物品到学校，这样在课堂上，教师便可以引导学生通过对物品的利用去主动地认识数字。需要注意的是，这一过程必须学生亲自去完成，教师只能作为引导的角色而存在，这样才能最大限度地保证学生数学思维以及自主学习能力能够得到培养。

2.注重理论与实践的结合

小学数学探究式教学模式的应用需要坚持理论与实践相结合的原则，要鼓励学生去从生活中发现数学、利用数学。例如，教师可以通过家庭作业的方式，要求学生在家长的陪同下去购买物品，在此过程中，学生要自行对所要找零的钱数进行计算，这对于其加减法能力的提高十分重要。另外，教师还可以带领学生去户外进行学习，要引导学生去发现大自然中的数学。由于小学生无论在智力还是在心理方面其发展均不够完善，因此不能仅仅依靠其单独地解决问题，对于综合性以及复杂性较高的问题，教师可以利用课堂时间去帮助学生进行解决，并同时引导学生对解题思路进行学习，这样才能最大限度地提高小学生解决数学问题的能力，同时也才能使探究式教学的效果达到更高的标准。

3.坚持问题式情景教学

所谓的问题式情景教学主要指的是教师要在课堂上通过对种种问题的提出，促使学生在解决问题的过程中学习到知识，这对于学生学习兴趣以及研究欲望的培养十分重要，考虑到不同学生的不同特点及对知识的不同接受能力，教师在设置问题时一定要充分关注到每一位学生，这样才能使学生的能力得到整体上的培养。例如，教师可以提出一个问题，同时提出一个与之对立的观点，要求学生去判断哪一个观点是正确的，从而促使学生自主地通过查阅资料的方式去学习，提高其自主学习能力。

综上所述，小学教学是整个教学过程中的基础性阶段，在这一阶段对小学生数学能力的培养具有重要意义。鉴于传统的教学手段已经无法适应时代以及教育发展的要求，因此，在新课程标准下，将探究式教学模式应用到小学数学具体教学过程中已经成为主要趋势。应用过程首先需要通过对教学模型的构建来实现，在此基础上，还要将理论与实践相结合，坚持问题式情景教学，这样才能使探究式教学的应用达到培养小学生数学思维以及创新能力的目的。

参考文献：

[1]索桂芳，薛彦华，赵明录，等.新课程体系下小学数学探究式教学模式的构建[J].河北师范大学学报：教育科学版，2007（5）.

数学建模的教程篇5

关键词：探究学习；小学数学；教学模式

随着课程改革的逐步实施，越来越多的人开始意识到学生被动学习的弊端，意识到小学数学的教学中存在的问题。传统的单一、被动的教学模式容易使学生逐渐丧失主动探索和合作学习的能力，教师对于探究学习缺乏最基本的认识，不知道如何改进传统的教学模式，激发学生的探究精神，并且教学理论只有构建成教学模式才能够真正地被贯彻实施。因此，通过实验研究，构建完善小学数学探究式的教学模式，培养学生的创新精神和实践能力就显得极其重要。

一、模式的理论基础

教学模式是在教学理论和思想的指导下构建起来的，小学数学探究式教学模式的理论基础主要有三个，分别是建构主义理论、再创造教学理论和问题解决理论。

1.建构主义理论

数学的建构主义理论说明数学的学习过程不应该是被动的接受，而是学生主动求知的过程，同时，新课改的教学理念倡导的是让学生不仅仅学到知识，更要了解知识产生的过程，这也是构建主义的原理体现。数学具有高度的抽象性，为了让学生更加容易地学习和理解数学知识，在数学教学的过程中教师要注意让学生在参加数学活动的过程中，通过实际的操作、交流和反省主动地去构建数学知识体系。通过这个过程，学生能够在思考和反省的过程中加强对于数学的理解能力，从而更好地学好数学这门学科。

2.再创造教学理论

再创造教学理论认为数学的学习过程就是一个再创造的过程，对于新知识的学习本身就是由旧知识来解释新知识，在具体的学习过程中，包括对数学知识的概括、观察、类比等，通过这些对数学知识进行再创造和再发现。

3.问题解决理论

重视数学问题解决理论的原因主要有以下两个方面：其一，数学问题的解决实际上是数学发现、创新的过程。其二，通过解决数学问题，可以激发学生学习数学的兴趣，培养学生的创造力。

二、模式的教学目标

目标在教学模式中起着核心作用，对于其他因素都有着制约效果。当学生围绕着一个问题进行主动探究和合作交流时，他们实际上就在经历数学知识的产生和发展过程。小学数学探究模式注重提高学生的探究能力和学习方式的转变，在教学中培养探究意识和团结协作意识，达到知识和实践能力共同发展的目标。总的来说，其核心目标就是重视发展学生的创新精神和实践能力的综合性素质。

三、模式的实施程序

1.创建问题情境

有问题才有探究，探究式教学模式的核心就是要创建问题情境，确立需要解决的问题。

问题情境是教师在教学过程中为了引导学生学习某个特定的课题而设置的包括迷茫、冲击等心理刺激，学生对此感兴趣但又没有办法去解决它。情境中的问题需要与学生现有的知识程度相符，但又需要通过一定的努力才能解决。学生对问题产生兴趣，就能激发学生的探究精神，激发学生的兴趣，促使学生提出疑问，明确探究的方向，带动思维的活力。

2.创建数学模型

教师要注意引导学生从数学的思维角度出发，探索解决问题的方法，在一个看似实际的问题中概括出抽象的数学知识，把常识提炼为数学，促进学生更加深刻地理解知识。可见，建立数学模型在构建小学数学探究式教学模式中是至关重要的。

3.解释应用

数学知识来源于生活，又对生活有着反作用，知识不仅是作为理论存在的，只有知识被运用时，才能够显示其作用和功效。在小学数学探究式教学模式中，教师要引导学生学会从日常生活中提炼数学问题，并且引导学生运用平时所学的理论知识去解决实际出现的问题，培养学生活用数学的意识和观念。现实生活中的数学问题往往是混合了许多信息以一种综合性的方式出现的，将这种方式引入课堂，让学生在实践活动中学习数学，了解到数学和现实生活之间的密切联系，增强应用数学的意识。

四、模式的教学策略

1.保持和谐的师生关系，营造良好的探究教学课堂氛围

和谐的师生关系，良好的教学氛围有利于激发学生的内在情感和动机，保障了学生主动参与探究学习。具体来说，要改变以教师为中心的教学模式，变为以学生为中心，教师要从知识的传授者变为学生发展的引导者，平等地对待每一个学生，鼓励学生提出问题，允许学生犯非原则性的错误，营造和谐、自由、民主的课堂教学氛围。

2.组织形式多样化的探究活动

教师要鼓励学生主动参与、实践和思考，引导学生亲身经历整个过程。教师应该是探究活动的组织者和引导者，促使学生亲身经历探索知识的过程，在这个过程中让学生既能够感受到探索的艰辛，又能够感受到成功的喜悦，还能逐渐养成自发探索的习惯，提高探究知识的能力。

小学数学探究式教学模式反映了当今时代的要求，重视教师的主导作用，使学生成为课堂的主人和学习的主人，既能培养学生主动探究的能力，又能提高教师的专业水平。小学数学探究式教学模式是符合我国课堂教学的实际要求的。但是探究式教学模式并不是唯一的教学模式，学习的综合性要求我们要综合使用多种模式或者根据实际情况进行选择，从而提高课堂的教学质量。

参考文献：

1.罗旭梅.“探”有学问，方能出彩——浅谈小学数学课堂教学中的探究学习[J].吉林教育，2011（22）.

数学建模的教程篇6

关键词：高职院校，高等数学；教学模式；创新

近年来，随着高等教育大众化及高职院校数量的增多，高职院校的课程质量也成为教育界诸多人士关注的焦点。而高等数学作为理工科类的基础学科，是课程建设中的重要部分。一方面，高数必须以应用为目的，故其教学内容应尽量满足其专业课应用的需求；另一方面，高职院校的学生又具有自己的特点，要求其教学内容的难度应尽量的降低要求。这样形成一对不容易调和的矛盾，给高等数学的教学带来诸多麻烦。本文从高职高等数学课程建设的特点出发，针对在高等数学教学实践改革过程中发现的问题，提出改善高等数学教学效果的方案。

一、高职高等数学课程建设的特点

(一)高职院校培养的人才层次要求高等数学综合知识覆盖面宽，但知识难度要求不深

高职院校培养的学生一般是适合一线工作的某一岗位或是岗位群。这面对一线工作的性质就决定学生就业的凭证是“技能”，所以对理论知识不需要太深。但学生面对的是一个或多个相关的岗位，这就要求学生所需要的知识覆盖面要宽。例如同是计算机专业的学生毕业后并不都是从事电脑编程，也可能是电脑销售、维修工作，岗位不同就导致了对知识的需求有所差别。所以我们应尽量做到“满足其需，但以够用为度”。

(二)高职院校培养的人才类型要求高等数学教学过程尽量避开抽象的理论型教学模式，应设法使用形象的应用型教学模式

目前，高职院校培养的人才类型是第一线的应用型人才，所以我们需要解决的是他们在实践中的现实问题，是应用性问题，而不再是纯数学理论。当然不是说完全可以忽略掉纯数学理论的内容，而是在要求学生理解基本的数学概念、数学结论的基础上，尽量避开枯燥的纯理论推导，设法通过数学实验，给学生展示形象的数学问题。

(三)高职院校的人才培养模式要求高等数学教学过程应给学生足够的实践空间，开发高等数学教学过程中学生的实践性

“工学结合”是高职院校的主要人才培养模式，是一种将学习与工作相结合的教育模式，主体是学生，把课堂教育学习和直接动手的实践经验学习进行有机的结台。我们在把高等数学从理论型模式转向应用型模式的同时，应培养、引导学生自己动手把日常生活中的问题转化成数学问题，建立数学模型，解决问题，达到对数学知识的理解和应用。

二、制约高职院校高等数学教学效果的因素

当前，大部分高职院校的高等数学教学效果并不佳，补考学生人数位居各科之首。笔者通过教学实践，归纳得出制约高职院校高等数学教学效果的因素有：

(一)高职教育中，高等数学课程的地位不明确，导致教师、学生的双重困惑

目前，高等数学在高职教育中的地位甚微，被置于可有可无的边缘课程之中。于是，对于教师，就片面地理解对数学的“但求适度、够用”要求的意义，只是简单地压缩教学课时(部分专业的数学课时不足总课时的5％)，删减教学内容。对于学生，就滋生了数学“无用论”思想，学习数学的积极性大打折扣，认真学习数学的大多也是“兴致所至”。

(二)生源整体素质偏低，这是目前难以改变的，也是最致命的一个因素

近年来，高职院校为了缓解生源不足的问题，采取“宽进”政策，同时，高职院校所有的专业招生都是“文理兼收”，学生的数学基础参差不齐。诸多原因导致了生源整体素质偏低，增加了高职院校高等数学的教学难度。

(三)缺乏适合高职院校学生的教材

现有的高职院校数学教材，大多质量不高，要么是普通高校高数的浓缩版，教材难度偏大；要么干脆把内容删减得过于简单，失去学科本性。市场上很难找到一本真正能满足高职不同层次、不同专业学生的学习需求，内容和例题的选择真正能与现实生活和学生的专业相结合，具有较强针对性的教材。

(四)教学模式单一，教学手段、方法呆板

传统的高等数学教学模式是“黑板加粉笔”的班级集中式授课，一般采用老师讲、学生听和记的“填鸭式”教学方法。由于高职院校对高等数学课程地位不明确，不重视数学课程建设，导致教师缺乏课程改革动力，所以现在很多高数教学都停留在最原始的传统教学模式。

三、创新教学模式的措施

(一)树立大局的、长远的教育观念，重新定位高等数学课程的地位

众所周知，数学是所有理工科的基础。数学知识扎实与否直接影响学生专业技术发展的空间，直接影响学生职业生涯长远的发展。所以数学是培养“应用型、创新型、持久型”人才的必备基石，其地位完全不亚于所谓的“饭碗课”。故我们必须树立起大局的、长远的教育观，给高等数学课程一个正确的定位。

(二)针对高职院校学生的认知水平，对教材进行恰当的改进

高等数学理论比较抽象，系统性比较强，而高职院校的学生普遍数学基础较差，自制力不强，教材需要增加趣味性来吸引他们的注意力。所以对高职院校高等数学教材的处理，不是简单地对原来教材进行浓缩或内容删减(这样会破坏其理论知识的系统性，增加学生理解的难度)，而是应该在不失去科学性、系统性的基础上，做到深入浅出，把抽象知识形象化，避开晦涩的理论推导，多举些有趣的、跟他们专业课相关的例子来说明问题。

(三)激发学生的学习兴趣

高职院校学生普遍基础较差，在学习这个问题上，相对于重点大学的学生来说，或多或少有点自卑感，觉得自己不是学习的料，与其在学习上浪费时间，倒不如把时间用来逍遥快活。于是他们一进高职院校的门，就有一种混日子的思想趋势，这种趋势要及时遏制。要及时端正他们的学习态度，引导他们树立正确的人生观。虽然这好像跟数学课搭不上边，但其实一旦学生的学习态度开始懒散，首先遭殃的就是数学课，因为在学生看来，数学课难，而且好像不是那么重要，可以最先撇开。为了端正他们的学习态度，激励他们的学习热情，一开始就应该给他们进行思想教育，最好举些例子，让学生在例子中吸取做人、做事的道理。

端正他们的学习态度，激励他们的学习热情，这只是第一步，作为数学教师，还要让学生喜欢数学，起码不能让他们讨厌数学。美国著名心理学家费兰克说过：“了解是喜欢的最初阶段”。所以我们要让学生喜欢数学，就应该让他们了解数学。而数学史就是让学生了解数学现成的、最好的说明书。于是在一开始上数学课，就尽量给学生讲些数学中的奇闻异事，夹杂自己的理解和情感来影响学生，让学生了解数学、喜欢数学。

(四)高职院校的数学课堂，教师更应注意对语

言美和逻辑美的应用

由于数学理论抽象、晦涩难懂，高职院校的学生大部分对数学缺乏兴趣。为了更好地吸引学生课堂的注意力，教师应把好课堂语言关，做到语言美和逻辑美的结合，使得课堂幽默生动。

例如给学生讲解什么是数学时，不是直接告诉学生答案，而是拐个弯表达：

数学是上帝描述自然的符号――这是黑格尔的名言。数学是一切知识中的最高形式――这是柏拉图的教导。数学是打开科学大门的钥匙――这是培根的呼唤。数学是用数量描述世界的科学。这又是谁的名言呢?――我的。

这样学生会在前后作者地位的反差中记住了数学概念。

(五)新旧教学模式相结合，兼顾传统教学模式与多媒体教学模式各自的优点，避开新旧模式各自的弱点

1，利用传统教学模式让学生理解数学理论推导过程、解题思路开发过程，让学生理解基本的数学理论知识。高等数学的传统教学模式为“粉笔加黑板”的班级讲授形式。有些教师对这种模式是全盘否定，一棒打死。笔者认为这种传统模式固然弊端甚多，但也不乏优点。像计算题，若用此模式教学，则可把学生的思维也融入计算的过程中，相当于师生共同完成计算的过程，这样有利于学生对计算方法的掌握。若采用多媒体教学，做成课件，则很难达到这种效果，因为课件直接把结果呈现给学生，不用一个计算的思维过程，幻灯片一晃而过，学生初一看，确是那么一回事，但恰恰就是因为缺少了这个师生共同完成的计算过程，而导致学生掌握不牢周，下课就忘了。

2利用多媒体教学模式做数学实验，数形结合，让学生更形象地理解数学定义、数学理论。多媒体教学模式以其简单明了、快捷灵活、形象而且信息量多等优点而大受教师欢迎。这种模式可以克服传统模式中呆板、枯燥等缺点。同时若把mathlab、几何画板等数学软件引入课堂，更能增加多媒体教学模式的魅力。利用这种教学模式的优点，我们来讲解抽象的、晦涩难懂的数学定义、定理，有时候就能达到事半功倍的效果。

(六)利用数学建模，指导学生建立数学模型来解决他们专业课的问题，激发学生对数学的学习兴趣，开发学生的数学实践空间

为什么很多学生会产生“数学无用论”，对数学失去兴趣呢?原因很多，但其中有一个很重要的原因就是数学跟他们的专业课脱轨了，让他们看不到数学的用处，感觉不到学数学的乐趣。但数学可以说是所有自然科学的基石，作为数学老师应该让学生真真实实的看到这一点。引导学生利用数学知识解决他们专业里边的问题。这样学生就会感觉数学功能的强大，会在解决问题中体会到学数学的乐趣。

例如针对物流专业的学生，我们设计如下问题：“一商人有3000个萝卜，要运到1000里外的市场，他有一只马，这只马一次只能驮1000个萝卜，而且每走1里路，要吃一个萝卜，问商人到达市场最多能剩下多少个萝卜?”(分三段走，第一站200里处，第二站533里处，最后一站市场，到市场剩下533个)

这样的问题既不失其趣味性，又能和学生的专业挂钩(成本最低化问题)，能有效地激发学生对数学的学习兴趣，开发学生的数学实践空间。

四、不同教学模式教学效果对比

从培养“应用型”人才的基点出发，结合高职院校高等数学课程的特点，针对高职院校学生的认知特征，对高等数学课程进行了以上尝试性的改革。下面是关于这次课程改革的调查数据：

通过数据分析，可以得出以下结论：

①学生卷面成绩不及格率从34％降到7％，优秀率从3％升到18％，显然学生的成绩提高了一截，这说明改革让学生对数学知识的掌握程度大大提高了。

②学生对高等数学课堂满意程度的变化：不满意率从21％降到2％，而非常满意的从6％升到22％，这说明改革增加了数学课堂对学生的吸引力。

③从学生对高等数学与他们专业课的关系这一项调查结果来看，觉得有很大帮助的从5％升到21％，而完全没认识的从21％降到7％。显然随着改革的进行，学生对高等数学的认识正不断加深，不断感受到高等数学的用处。

④从学生对高等数学感兴趣程度来看，各项指标变化不大，因为学生对高等数学感兴趣程度需要一定的培养过程，效果是不容易立竿见影的，但也说明，我们的改革还需不断加深，教学模式还有待不断优化与改善。

参考文献：

[1]裴亚枫，谈高职教育中高等数学课的定位[J]，山东商业职业技术学院学报，2003，(3)。

[2]田智，王喜斌，高职数学教学改革的体会和设想[J]，中国成人教育，2006，(5)。

[3]严士健，张奠宙，王尚志，数学课程标准(实验)解读[M]，南京：江苏教育出版社，2004。