初中数学圆的基本模型篇1

【关键词】物理模型;理想模型;等效模型

高中学生经常会遇到这样的情况：在解物理题时，很顺利的把题解完了，但看到答案以后发现自己和答案相差甚远。这种情况一般不是计算的问题，而是对题中受力或运动过程等的分析出错。究其原因是不能熟练运用物理模型和解题技巧。为了更熟练的运用模型解题，本文首先对高中物理常见的模型进行分类，并讨论它们在解题中的具体作用，希望能给大家一些启发和思考。

一、模型分类

1.理想模型

理想模型是高中物理模型中最常见最重要的模型，在理想模型中我们会忽略一些次要因素，将研究对象简化。比如质点、点电荷、光滑斜面、匀强电磁场、自由落体、完全弹性碰撞、各种匀速运动以及题中暗示的理想条件等。理想模型还可以进一步细分为实物模型和过程模型。

下面用几个简单的例子对这类模型的建立和运用进行说明。

（1）匀速圆周运动

质点在以某点为圆心半径为r的圆周上运动时，其轨迹是圆周的运动叫“圆周运动”。这里要注意的是，匀速圆周运动中的“匀速”是匀速率，做匀速圆周运动的物体速度方向是时刻改变的。匀速圆周运动考题中容易出现的物理量有：重力（G）、向心力（a）、线速度（v）、角速度（ω）、半径（r）。

常用的规律主要有：基本公式（如向心加速度等于线速度的二次方与半径的比值a=）;质点所受合外力指向圆心;系统机械能守恒等。匀速圆周运动还可以根据题目信息，进一步将题目细分为：绳模型、杆模型和弹簧模型，而且在平时的训练中，一定要注意区分三种模型的异同。

匀速圆周运动中涉及到实物模型质点和过程模型匀速运动，所以在解题过程中一定注意提取题目中信息，尽可能将题目简化后建立模型。

（2）平抛运动

物体只在重力的作用下，初速度为零的运动，叫做自由落体运动。经常出现的物理量有：重力加速度（g）、时间（t）、初速度（v0）、质量（m）。运用的规律主要有：基本公式（如竖直方向的位移h=gt2，水平方向位移x=v0t，速度夹角的正切值等于位移夹角正切值的2倍）;加速度始终为g，系统的机械能守恒等。

在理想模型的问题中，模型建立后会得到一些相关物理量，只要将这些物理量根据学过的规律，代入相关的公式中问题基本就能得到解决。

2.等效模型

等效模型会将一个抽象、复杂、陌生的研究对象转变为一个具体、简易、熟悉的事物。具体如：磁场中磁感线、电场中电场线、等效电路图等。运用等效模型解题的重点在于物理规律的运用（如沿电场线方向电势越来越低、磁感线的切线方向为该点磁场方向）。

二、解题应用

学习了物理模型之后如果不能巧妙的利用，那么物理模型在题中也不会起到理想的作用，通过解题过程讲解怎样使用物理模型解题。

例题1.由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的作用，存在着一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在平面内做相同角速度的圆周运动（图示为A、B、C三颗星体质量不相同时的一般情况），若A星体质量为2m，B、C两星体的质量均为m，三角形的边长为a，求

（1）A星体所受合力大小FA;（2）B星体所受合力大小FB;

（3）C星体的轨道半径RC;（4）三星体做圆周运动的周期T。

解析：首先需要建立模型，题目中出现了质点和匀速圆周运动模型。

（1）在高中天体物理题中，常常需要将天体运动理想化，抽象成质点的匀速圆周运动，并且只需考虑题中所涉及到的天体对运动的影响。由平行四边形定则有：

FA=FBA+FCA=FBA=2G（）2

（2）同样由平行四边形定则得出：

FB=FAB+FCB=G（）2

（3）三个星体的环绕运动可看作角速度相同的匀速圆周运动，故：

ωA=ωB=ωC

因为ω2R=，化简得：

==

代入等边ABC，分析解得：RC=a

（下转第35页）

（上接第20页）

（4）三星体周期相同，对C星体：

FC=G（）=m（）2RC

代入RC解得：T=。

例题2.如图所示，长度为的轻绳上端固定在O点，绳子下端系一质量为m的小球（小球的大小可以忽略）。

（1）在水平拉力F的作用下，轻绳与竖直方向的夹角为α，小球保持静止。画出此时小球的受力示意图，并求力F的大小;

（2）由图示位置以初速度为零释放小球，当小球通过最低点时的速度大小及轻绳对小球的拉力（不计空气阻力）。

解析：同样先建立模型，此题含质点模型、圆周运动模型和绳模型。

（1）物体的受力分析是解题的关键，此题物体的受力并不复杂，绳子的拉力沿绳子方向，质点受重力方向竖直向下，拉力水平向右，画出受力分析图：

由于此时小球静止，得出三力的合外力为零，所以：F=Gtanα=mgtanα

（2）由于在圆周运动中机械能守恒，所以小球到最低点的动能等于小球重力势能的减少量。得出：=mg（1-lcosα），解得v=。在圆周运动中a=，所以当v=时a=2g（1-cosα），利用圆周运动的向心力等于合外力得：F向=mg+F绳，解得F绳mg+2mg（1-cosα）。

三、小结

本文通过物理模型的分类和运用模型解题来讨论物理模型在解题中的作用。通过本文可以看出，对于物理模型问题，只要确认了模型内容，正确的代入学过的相关公式，一道看似复杂的物理题就会变成一道简单的数学题。题中的具体计算过程都是数学问题，物理知识只用来简化抽象出模型和列出具体的计算公式。

【参考文献】

[1]李峰丹.高中物理理想模型构建及应用，2015

[2]乔洁琼.理想模型在高中物理教学中的应用研究，2013

初中数学圆的基本模型篇2

在初中数学教学中使用多媒体课件的意义主要体现在以下几个方面。

1．运用多媒体把抽象转化为直观

初中数学中有许多较为抽象的概念，如在线段的垂直平分线、角平分线概念教学过程中，可以用FLASH动画的形式将线段的垂直平分线、角平分线表示出来，以体现垂直平分线和角平分线的特点；又比如，学生在理解三角函数值与角的关系时，可以把三角函数值和角的关系放在直角三角形中，设计成因果互动的形式；学生在理解圆中角的相互关系时，我们可以用动画的形式变换角的顶点、角的边与圆的相对位置关系，让学生从运动的角度去理解圆心角、圆周角、弦切角与圆的位置关系以及这些角之间的相互联系。多媒体丰富的表现形式能使抽象的数学概念变为学生容易接受的直观形式。

2．运用多媒体体现数学的严密性

数学推理的严密性可以通过多媒体很好地体现，我们可以用Powerpoint将每一步推理过程预设动作，通过教师与计算机的互动，一步一步地将推理过程在幻灯片中演示出来，这不仅能很好地体现推理的全过程，而且为每一步推理过程的讲解留出了时间和空间，对培养学生的逻辑思维品质有着十分重要的意义，这与在黑板上进行数学推理相比是一个进步。

3．运用多媒体可以表现数学应用的广泛性

初中数学应用于实际的内容，在以往的教学过程中，由于受到表现形式的限制，没有时间和条件把应用的细节很好地表现出来，这对学生将实际问题转化为数学问题形成了一定的障碍。把多媒体应用于数学教学后，我们可以在很短的时间内，将预先选择好的应用场景用图片或动画的形式详尽地表现出来，通过演示，使学生抓住问题的本质。同时，教师可以通过计算机网络收取大量的数学应用事例，以开阔学生的视野，学生也能从中体会到数学在实际应用中的作用。

4．运用多媒体更好的训练学生掌握基础知识和基本技能

初中数学的基础知识和基本技能在学生学习数学的过程中占有十分重要的地位，在传统的数学教学过程中，一位教师要面对几十名学生，能及时发现和纠正每一位学生在基础知识和基本技能学习中出现的问题是很困难的。将多媒体应用于数学教学后，我们可以充分利用多媒体的可交互性，让计算机及时发现和纠正学生出现的问题，使学生能及时正确地掌握基础知识和基本技能。这里要注意的是，对课件交互性的设计，一定要全面考虑各种可能出现的情况，否则，将影响学生对于基础知识和基本技能的正确理解和掌握。

5．运用多媒体教学更有利于发展学生的思维能力和空间观念

由于多媒体具有极其丰富的表现形式，正确地应用多媒体进行数学教学，可以更有力的提高学生的思维能力和培养学生的空间观念。我们还可以通过把学生数学思维的过程用多媒体的各种形式（如图片、动画、声音、视频图像、表格）等表现出来，使学生以这些形式为媒介，去体会、理解和掌握数学的思维方法，发展学生的思维能力。

6．运用多媒体教学有利于培养学生的创新意识

初中数学的一项重要任务是，在教会学生解决问题的同时要培养创新意识。我们可以通过多媒体的表现形式及问题情境，让学生在错综复杂的条件下发现新问题，引导学生去粗取精、去伪存真、由表及里、由此及彼的思考，传统的教学方法要完成这样的设置是十分困难的，特别是模拟现实生活中的一些情境。多媒体利用其具有的独到的优势，把学生创新意识的培养置身于现实。

7．运用多媒体能有效地培养学生的辩证唯物主义概念

初中数学中，可以培养学生辩证唯物主义观念的知识点很多，这里仅举一例，在直线和圆的位置关系的教学中，我们可以将直线和圆的位置关系制作成动画，突出圆心到直线的距离这一量变是如何引起直线和圆的位置关系变化，从而让学生领会量变引起质变的辩证唯物主义观点。在动画的演示过程中，还强化了学生对点与圆、点到直线的距离、圆和直线位置关系等数学概念的理解。

8．运用多媒体可以建立初中数学和其他学科的联系。

初中数学和其他学科有着十分紧密的联系，实际上，多媒体应用于数学教学过程的本身就已经把信息技术与其他学科的内容紧密地融为一体了。通过多媒体的应用，学生可以自然地将信息技术中的知识和技能应用于数学的学习中。如通过课件的画面、声音，学生还可以受到美术、音乐方面的熏陶。因此，以多媒体为媒介可以很好地建立数学与其他学科的联系。

二、在初中数学教学中使用制作多媒体

课件应注意的几个问题

1．注意适应学生的年龄特征

在初中一年级有理数运算的训练课中，学生算对时给出一个笑脸动画，算错时给出一个哭脸动画，并要求学生重新计算。初二时，我们的课件设计就应该着重逐步训练学生的逻辑思维习惯，在设计课件中加入演示几何分析证明过程。初三时，利用课件制作图表等手段培养学生综合分析所学知识的能力，如在点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系小结时，可以以图表的形式将有关知识综合起来。

2．注意培养学生的数学素养

学生的数学素养主要包括具备准确而迅速的运算能力、正确的空间观念、运用数学方法发现问题与解决问题的能力。可以利用多媒体本身的特点很好地完成这一任务。在运算能力的培养方面，利用计算机迅速而准确地运算，使学生的运算在计算机的引导下得到提高；通过多媒体图片或动画演示，可以引导学生去认识各种几何体是如何从实际生活中抽象而来的，从而培养学生正确的空间观念；强大的多媒体功能可以让学生很好地掌握和运用数学方法，去发现问题解决问题。

3．注意学生对于计算机知识的应用能力

多媒体技术的应用是离不开计算机的，如果我们在课件设计时，脱离了学生对于计算机应用的能力，就会导致学生因计算机知识的障碍而不能完成相应的数学知识的学习。

三、制作初中数学多媒体课件的步骤

课件是计算机辅助教学实施的要素，可以说没有课件就没有计算机辅助教学，所以课件制作是计算机辅助教学的必要步骤。教师要根据初中数学教学大纲的要求，选择适当的教学内容和多媒体模式，根据多媒体教学模式的要求把教材所包括的概念、定理和例题等内容分成许多步骤，这些步骤可以按照初中数学的逻辑顺序排列，也可以根据学生的数学基础和理解能力来安排。要注意课件的教学性、科学性、交互性、集成性、诊断性等特点，利用多媒体课件的图文声像并茂的呈现方式，有效地激发学生的学习兴趣；利用多媒体提供友好的交互环境，调动学生积极参与学习；利用多媒体提供丰富的信息资源，扩大学生的知识面；利用多媒体创建多种学习途径，发展学生的思维能力，其设计过程可遵循下述策略。

1．课件目标分析

课件目标分析要完成的任务是需求分析，即确定教学内容、教学目标和学习目标。课件的任务不外乎是完成一种数学的教学和训练，所以在确定所设计课件的目标时，应对教学目的、教学用途和教学环境提出明确的要求。主要包括确定教学内容、教学目标分析、学习者特征分析和学习目的分析。

2．教学设计

要使制作的课件具有良好的教学效果，就必须进行教学设计。因此，教学设计是课件设计的第一步，也是很重要的一步教学设计的主要工作是，确定教学内容的广度和深度，确定课件设计的基本策略与课件的结构，选择课件的教学模式和课件使用的媒体。教学设计的主要步骤是；①教学单元的划分；②确定课件的设计策略（常用的设计策略有：面向问题设计策略、基于学习程序的设计策略、基于学习理论的课件设计策略、面向学习者特性的课件设计策略）；③课件结构设计（常用的课件结构有帧型结构、生成型结构、数据库型结构和智能型结构）；④教学模式的选择主要包括新概念的引入、知识和技能的讲授。培养解决问题的能力，这些模式往往也可以同时应用于同一个课件中。

3．课件系统分析

如何将教学内容在计算机上灵活多样的加以表达，通过课件系统设计使教学内容与课件表现形式有机的统一，从而发挥计算机突出教学重点、突破教学难点。培养学生能力和素养的优势。这些就是课件系统设计的主要内容，此外还包括总体风格设计、封面设计。屏幕界面设计、交互方式设计、导航策略设计和超文本结构设计等。

4．教学单元的设计

教学单元的设计是在将总体内容划分成大的“教学块”之后，再对每一块内容进行详细设计，包括知识单元的划分、知识点之间关系的确定等，设计的最终结果是可以以此为依据进行脚本的编写。它包括知识点的确定、知识点教学模式的选择、知识点表示的媒体选择及知识点之间关系的确定和表现顺序的安排。

5．脚本设计

脚本是多媒体课件制作的直接依据，规范的脚本对于保证课件质量水平，提高课件开发效率，具有积极的作用。一个好的脚本应该体现课件设计的教学思想，使得计算机课件在技巧的实现和功能的具备上符合教学的目的和需要，从而达到良好的教学效果。脚本有文字说明和图片两种类型。脚本设计通常包括编号（或文件名）、屏幕内容设计、跳转关系设计、解说配音设计和呈现说明。

6．课件制作的实现

课件制作的实现分为素材准备制作和整体课件的制作两个阶段。根据脚本的要求，必须对课件所需的素材进行选择、加工、处理和制作，可以在现有的素材库中选取，也可以根据教学的需要自行制作。根据脚本的要求，使用相应的课件开放工具，完成整体课件的制作。开发课件使用的工具目前主要有三种类型：编程语言、课件著作工具和积件系统。编程语言可以开发出具有一定智能、运行速度快的课件，具有开发灵活、功能强大等优质，但由于编程语言没有广泛集成多媒体的特征，而且对开发人员的计算机应用水平的要求较高，因此，不适合非计算机专业的教师。课件著作工具是指用来集成、处理和统一管理文本、图形、动画、视频图象和声音等多媒体信息的编辑工具，具有制作方便、设计简便和可靠性强的特点，但在结构上受统一限制的影响，导致课件的教学模式和因材施教的灵活性受到局限。积件系统是创作人员利用现有的积件库，不需要编程，只要按照脚本的要求从积件库中选取所需的积件，或制作新的积件，其具有方便快捷、效率高的特点，但需要教师必须具备充实的积件库，目前已有积件系统面市了。

初中数学圆的基本模型篇3

1．符号化思想

华罗庚说过“数学的特点是抽象，正因为如此，用符号表示就更具有广泛的应用性与优越性”。用符号化的语言（包括字母、数字、图形和各种特定的符号）来描述数学的内容，这就是符号思想方法。在数学中各种量的关系，量的变化以及量与量之间进行推导和演算，都是用小小的字母表示数，以符号的浓缩形式来表达大量的信息，把复杂的语言文字叙述用简洁明了的字母公式表示出来，便于记忆，便于运用。这种用符号来体现的数学语言是世界性语言，是一个人数学素养的综合反映。如在《数学广角——排列组合》一课时，某老师设计了这样一个环节，在学生初步能够表示多种搭配方案后，出示生活中例子：衣服搭配、早餐搭配（本质上用符号来表示是相同的），先让学生用自己喜欢的方式把搭配方案表示出来，然后指名汇报。学生在反馈时，若用文字等表示，一看就知道学生表示哪幅图；若学生用符号来表示时，教师便问：你们猜他表示的是哪幅图？引起了学生的思考，也使学生了解到用符号表示的优势，原来用符号可以表示这两幅图，不仅如此，还可以表示更多其他的搭配。而且教师还要注意引导学生运用语言、符号来描述自己的思维过程，并通过语义互译，渗透符号化思想。同时引导学生回顾思维表征的历程，体验符号化的优势，给抽象思维过程以简约、概括、直观的表征。

2．转化思想

在数学教学中，解决数学问题，往往不是直接解决原问题的，而是将问题进行变换，使其转化为一个或几个已经能够解决的问题，这样的思想方法叫做转化思想。利用转化而得到的新问题与原问题相比较，对于新问题学生应该是能够解决的或较容易解决的。所以，转化的目的应该是化繁为简、化难为易和化未知为已知。如，有一位教师在教学《小数乘以整数》时——

师出示创收买东西的情境。

师：从情境图中收集哪些信息？要求的是什么问题？

生：王阿姨买了3块蛋糕，每块蛋糕1.2元。要求算出3块蛋糕多少元？

师：怎么列式计算？

生：1.2×3=，

师：1.2×3=，怎么算老师还没有教过。

师：大家能联系自己已经学过的知识，先想一想、再尝试地算一算？

师然后指名汇报。

生1：1.2×3就是3个1.2相加，1.2+1.2+1.2=3.6（元）

生2：1.2元=12角，12×3=36（角），36角=3.6元

师：咱们班的同学可真了不起，想出了这么好的办法来解决这个新问题。老师听出来了，在不知不觉中你们都把新问题转化成了旧知识。

（板书：新问题——旧知识）

师：把新问题转化成已经学过的旧知识，这种方法就是转化法，是我们学习数学经常要用到的一种好的方法。它是将需要解决的问题，转化成已经学过的旧知识，最后达到解决问题的一种方法。即通过引导学生应用以前所学过的小数加法和元、角的知识，将它化未知为已知，从而体验到数学学习中运用“转化”思想，解决新问题的价值。

又如有一位教师在教学《圆的面积》时——

师：请大家回顾一下，三角形、梯形的面积计算公式是怎样推导出来的？

生：（略）

师：用课件演示，想一想，这些图形面积公式的推导过程有什么共同点？

生1：都要把它转化成平行四边形来推导。

生2：都要运用拼凑割补的方法。

……

师：是呀！我们学习一种新图形的面积时，都要运用割、移、拼、补等方法，将它转化成已经学过的图形，再根据两者之间的关系，推导出新图形的面积算公式。那么，大家是否也可以把圆转化成一个已学过的图形来推导出圆面积的计算公式呢？

师：下面请大家先独立思考，小组合作交流，再动手剪一剪、拼一拼，能否把圆转化成学过的图形？并借助已学过的图形来推导出圆面积的计算公式。

师：谁能告诉老师你们小组把圆怎样转化成了什么图形？

生1：我们小组把圆转化成一个近似的平行四边形。

生2：我们小组把圆转化成一个近似的三角形。

生3：我们小组把圆转化成一个近似的长方形。

……

师：大家真了不起！把圆转化成了这么多近似的图形。

师：请看大屏幕，老师是怎样把圆剪、拼，然后把它转化成一个近似的长方形。（用课件演示）请大家想一想：如果把圆平均分得份数越多，拼成的图形会怎样呢？

生4：平均分得份数越多，每一份就会越细，拼成的图形就会越接近于长方形。

……

这样，让学生经历了知识的形成过程，渗透了转化、极限的数学思想，对今后学习数学起到非常重要的作用。

3．假设思想

假设是一种常用的推测性的数学思想方法。小学数学解题中，有些问题数量关系比较隐蔽，难以建立数量之间的联系，或数量关系抽象，学生无从下手。可以根据问题的具体情况合理假设，由此得出一些关系和结论，产生差异与矛盾，通过分析与思考，找出差异的原因，使复杂问题简单化，数量关系明朗化，从而达到解决问题的目的。

如：养鸡场分三次把一批肉鸡投放市场，第一次卖出的比总数的2／7多100只，第二次卖出的比总数的3／7少120只，第三次卖出320只。这批鸡共有多少只？

这道题的特点是分率后面还有个具体数量，给思考带来麻烦。可以假设没有后面的具体数量，去零为整，这样便于思考。假设第一次正好卖出总数的2／7，把多的100只放在第三次卖出，即第三次要多卖出100只；假设第二次正好卖出总数的3／7，那么少的120只需要从第三次取来，即第三次要少卖出120只。这样，第三次多卖出的只数是320＋100－120=300（只）。由此可求出这批鸡共有300÷（1－2／7－3／7）=1050（只）。

4．模型思想

2011年版课标指出：“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。”为此，教师在教学中渗透“模型思想”时，应注意以下几个问题：

第一，“模型思想”是解决生活实际问题以及数学学科发展的重要思想，随着数学知识的深入学习，表现更为明显。小学阶段所学知识是最基础的数学知识，因此，模型思想更多体现在生活问题数学化的过程中，只要求初步渗透。

第二，小学阶段的基本数学模型主要有“加法模型”、“乘法模型”“函数模型”、“方程模型”，其中，“加法模型”可以推演出“减法模型”，“乘法模型”可以推演出“除法模型”，“函数模型”主要表现在周长公式、面积公式、体积公式以及“路程＝速度×时间”“总价＝单价×数量”等关系中。

第三，模型思想包括建立模型和求解模型两个部分，其中，建立模型是从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、函数等模型，是生活问题或具体情景的数学化过程，求解模型是数学问题解决的过程。

因此，教师在教学过程中要根据学生的认知水平和生活经验，重视生活问题的抽象概括和数学化的过程，为模型思想的初步渗透和建立奠定思维基础。在数的运算教学中，可以进行“加法模型”、“乘法模型”等思想的渗透；在周长、面积、体积等知识教学中，可以进行“函数模型”思想的渗透；在简易方程知识的教学中，可以进行“方程模型”思想的渗透等。

5．极限思想

极限是用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态的概念。极限的思想方法为建立微积分学提供了严格的理论基础，极限的思想方法为数学的发展提供了有力的思想武器。时下，数学教学非常重视数学思想方法的渗透。如教学《圆的面积》时，教师比较注重对学生渗透极限思想，让学生体会到“化圆为方”“化曲为直”的数学方法。让学生在经历圆面积计算公式的推导过程中，通过教师点拨引导，大胆放手让学生自主探究，合作交流。大部分学生都是先把圆分成相等的两部分，然后把两个半圆分成8等分，12等分，16等分等，并把它剪开，再拼凑成近似于平行四边形或长方形的图形。而推导过程是学生通过动手操作、小组合作交流得出来的。最后运用课件演示进行验证，突出如果把圆分成64、128等分以及更多等分，让学生感受到这是一种用“无限逼近”的方法来推导圆的面积计算公式，感受到把圆等分得份数越多，“弧”就越接近于“直”，拼成的图形越接近于长方形或平行四边形。这时长方形或平行四边形的面积就越接近圆的面积了，从而使学生初步感受到“无限”思想。

6．对应思想

对应思想是人们对两个集合元素之间的联系的一种思想方法。小学数学一般是一一对应的直观图表，并以此孕伏函数思想。在数的认识教学中，可以运用“一一对应”的方法培养学生的对应意识，逐步形成对应的数学思想。用分数知识解决问题时弄清一个具体数量与一个分率的对应关系，而对应思想是解答实际问题的常见方法。如教学“用分数知识解决问题”时，抓准分率与具体量的对应关系是解答的关键。用分数知识解决问题的数量关系比较抽象，必须充分利用半具体半抽象的线段图作为解题工具。通过线段图帮助，明确谁是单位“1”，谁是对应分率，从而帮助学生理清思路，找到解题线索，有利于发展学生的逻辑思维能力。如：小新看一本120页的故事书，第一天看了总页数的1／5，第二天看总页数的1／4，

？

（让学生提出问题并列式解决）

显然，分率1／5是第一天看的页数；分率1／4是第二天看的页数；分率（1／5+1／4）是两天看的页数；分率（1-1／5-1／4）是还剩下的页数。

为此，教师在教学中有意识地渗透对应思想，增强学生的对应意识。只有学生掌握了对应的思想方法，无论用分数知识解决问题的条件如何变化，都能认清题目中的量与率的对应关系，找到解决问题的途径与方法，为解决实际问题奠定基础。

7．函数思想

我们知道，运动、变化是客观事物的本质属性。函数思想的可贵之处正在于它是运动、变化的观点去反映客观事物数量间的相互联系和内在规律的。学生对函数概念的理解有一个过程。教学中教师在处理一些问题时就要做到心中有函数思想，注意渗透函数思想。如让学生观察《20以内进位加法表》，发现加数的变化引起的和的变化的规律等，都较好地渗透了函数的思想。在低年级教材里，如一个加数不变时，“和”随“另一个加数”变化而变化，也是找出其对应关系。在六年下期数学教材中正、反比例这部分内容更是集中渗透了函数概念。教师处理这部分教材时，应通过画图、列表等直观形式，画龙点晴地强调量的“变化”，突出“两种相关联的量”之间的对应关系，帮助学生形成初步的函数概念。为此，在教学这类渗透函数思想内容时，可以这样安排：先让学生独立计算，然后指名汇报，师生订正，接着再引导学生认真观察比较，发现有什么规律，答案的变化是怎样引起的？通过观察对比，让学生体会“当一个数变化，另一个数不变时，得数变化是有规律的”，这样，函数思想就自然而然渗透在其中。

8．分类思想

依据数学研究对象本质属性的相同点和差异点，将数学对象分为不同种类的数学思想叫做分类的思想。“物以类聚，人以群分”。将事物进行分类，然后对划分的每一类分别进行研究和求解的方法叫做分类讨论的方法。

分类的思想是自然科学乃至社会科学研究中经常用到的，又叫做逻辑划分。不论从宏观上还是从微观上对研究对象进行分类，都是深化研究对象、发展科学必不可少的思想。因此分类讨论既是一种逻辑方法，也是一种数学思想。数学中的分类思想具有两个特性：

①统一性。要进行分类首先必须将对象视为统一整体，然后施行分类；或者通过分类，指出对象间某种共同的联系，进而表现出统一的属性。

②差异性。分类不仅揭示了对象的整体统一性，也刻画它们个体差异性，这种差异性才使得不同对象得以区别，分类得以实现。

总之，在教学中，教师要既重视数学知识、技能的教学，又注重数学思想、方法的渗透和运用，这样无疑有助于学生数学素养的全面提升，也有助于学生的终身学习和发展。

初中数学圆的基本模型篇4

关键词：颗粒堆积；空隙率（密度）；配位数

Abstract:Randompackingmodelwasappliedtosimulatethepackingofmono-sizedellipsoidalparticles,theboundaryconditionandshapeoftheparticlesontheeffectofgranularstructurewasanalysed.Computedresultsshowedthatrelativedimensionoftheboundary,ratioofparticleequivalentradiustolengthofcubiccontainer,hadasignificantinfluenceonthepackingdensityandcoordinationnumber;Thecloserthree-dimensionalsizeis,thedenserthepackingofparticlesis;Thetrendofchangesinpackingdensityisconsistentwiththatinaveragecoordinationnumber,bothofwhichdecreasewiththeaspectratioincreasing.Theprogramisthebasisformodelingtherandompackingregularityandgradeofmultiplymixturesofellipsoidalparticlessuchasballastandasphaltaggregates.

Keywords:particlepacking;packingporosity(density);coordinationnumber

中图分类号：O343.2文献标识码：A文章编号：

0引言

目前大多数离散元分析模型是多边形、圆形，前者常用在岩体模型中，后者常用在土颗粒模型中。用椭圆形代替圆形来模拟颗粒介质似乎已经成为一种提高模拟效果的发展趋势，已有众多学者对二维椭圆形离散元模型作过研究[1-2]，并在土颗粒的研究中有所应用[3]，而且Rothenburg等对椭圆形与圆形颗粒模型进行了对比，可知用椭圆形表示颗粒在散体的特性方面要优于用圆形表示的颗粒[4]。然而，二维颗粒堆积在现实中是不存在的，它与连续介质力学中的平面应变和应力的情况是不一样的。沥青混合料、道砟等散体的一些重要指标，如空隙率和配位数（单位颗粒与周围颗粒接触的数量），很难用二维颗粒加以清楚的描述。

对于三维颗粒模型来说，圆球体颗粒堆积的研究较为广泛而深入，其结论大都已取得学术界的共识，工程实践中也常将非球体用当量球来简化。但近年来的研究表明，非球体在堆积特性上与球体有很大的不同，颗粒形状的微小变化会使堆积密度发生显著的改变。然而由于模型及计算的复杂性，人们对非圆球体堆积的研究相对较少。而椭球体颗粒由于其三轴在长度上彼此独立，可以调整，在某种程度上更接近于现实颗粒。本文将建立椭球体颗粒的随机堆积空间分布模型，在VC++平台上开发出相应的计算程序，并将其用于分析表征堆积结构特性的重要参数：空隙率、配位数，为今后进一步研究复杂形状颗粒的微观结构打下基础。

1模型及程序设计

1.1颗粒的生成

颗粒空间分布模型的实质是颗粒随机堆积集成模拟，即模拟颗粒逐个在容器内的堆积，并最终形成稳定的散体结构。堆积开始的第一步就是颗粒的随机生成，由于本文研究的颗粒粒径是一定的，所以其随机性表现为颗粒主轴的初始方向向量和质心在上的初始坐标。颗粒沿方向落入已存在的散体界面上并有第一接触点，在其下落I阶段中，颗粒在直角坐标系平面上的坐标是不变的，竖向坐标是变化的，因此的初始值可设置为容器的高度。

MonteCarlo方法亦称统计模拟方法(StatisticalSimulationMethod)，是一种利用随机数进行数值模拟的方法。它是以概率统计理论为基础的一种方法。由于蒙特卡罗方法能够比较逼真地描述事物的特点及物理试验过程，解决一些数值方法难以解决的问题，因而该方法的应用领域日趋广泛。本文主要利用蒙特卡罗法，在立方体容器内，借助随机数产生粒子中心的平面坐标和主轴的方向余弦，使其分别随机分布在(为立方体容器的边长)和内。

1.2颗粒的接触判断

在一个由众多颗粒组成的体系中，直接判别颗粒是否接触需要耗费大量的计算时间，为提高计算效率，本文将不直接精确判别任意两个颗粒间是否存在接触，而是分两个步骤判别颗粒间的接触是否存在。对当前所研究颗粒首先采用椭球体的最大外接球初步的判断其潜在的邻居个数，然后采用几何势能法[5]精确的确定该颗粒与每个邻居是否接触。虽然在确定邻

居数目时也要耗费一定的计算时间，但是比逐个准确判别颗粒间是否存在接触要节约很多时

间。

(1)初步接触判断

对于初步接触判断满足下面的条件：

(1)

式(1)中，，为颗粒和质心之间的距离，，分别为颗粒和的中心坐标，为颗粒的长轴半径，为用户输入的常数，调节距离，当颗粒的累积位移超过时，才进行全场搜索，更新其初步接触链。当颗粒通过初步接触判断，方可进入细步接触判断。

(2)细步接触判断

如图1所示，设两相邻颗粒和在全局坐标系下的曲面方程分别为：

(2)

(3)

式(2)与式(3)中,、(…..)是常数。为了判断颗粒是否与颗粒接触，则问题转换

为函数：

(4)

在式(3)约束下求极值的问题，本文采用拉格朗日条件极值，引入变量，构造如下函数：

。(5)

对式(5)求微分并整理得：

(6)

通过式(6)，在颗粒上可求得离颗粒的最近点的坐标。如果，则两个椭球颗粒接触存在，同理可求得点的坐标，接触点坐标即为点与点连线的中点，如果，则两个椭球颗粒没有接触。

图1基于几何势能法的接触模型

初中数学圆的基本模型篇5

[关键词]概念教学形成三部曲现实性应用性科学性抽象

[中图分类号]G623.5[文献标识码]A[文章编号]1007-9068（2016）35-027

概念是反映事物本质属性和特征的思维形式。人们在实践活动中，首先通过感知接受客观事物的各种信息，形成感性认识，然后经过比较、分析、综合、概括等思维活动，抽象出一类事物的本质属性，形成关于这类事物的概念。概念获得有两种基本方式，即概念形成和概念同化。所谓概念形成，是指人们对同类事物中若干不同例子进行感知、分析、比较和抽象，通过归纳概括出这类事物的本质属性而获得概念的方式；所谓概念同化，是指利用学生已有的知识经验，以定义的方式直接提出概念，并揭示其本质属性，由学生主动地与原认知结构中的有关概念相联系去学习和掌握概念的方式。小学数学概念获得的主要方式是概念形成。因此，在数学教学中，教师可先创设具体的概念形成情境，以感性材料为基础引入新概念，然后引导学生通过操作、比较、判别等方式抽象出概念的特征，初步理解概念，再通过实践操作，以体验、运用的方式加强学生对概念的理解，强化学生对新概念的认知。

下面，我以“圆锥的认识”一课教学为例，谈谈小学数学概念形成的三部曲。

一、创设形成情境，形成感性认识

小学数学概念的学习需要在一定情境中进行，使学生对概念形成初步的感性认识。因此，在课堂教学中，教师创设的概念形成情境应与概念发生的实际背景紧密联系。例如，在“圆锥的认识”一课教学中，学生虽然在生活中接触过圆锥，但对圆锥的特征的感知较少。所以，教师要引导学生从生活实际中接触的圆锥开始，逐步引入新概念。

片断1：感受圆锥在生活中的存在形式

师（出示漏斗等实物，并指出这是圆锥体实物）：同学们，你们能指出生活中的圆锥体吗？

生：圆锥体的东西好像不多，有铅锤、漏斗、沙堆、铅笔尖等。

师：现在我们做一个游戏。大家肯定知道《正大综艺》中的抢答比赛，现在请同学们看大屏幕上的画面，注意出现圆锥体的镜头。（学生举手抢答出圆锥体的物体，有煤堆、粮堆、削好了的铅笔尖等）

……

上述教学，关注学生的经验和兴趣，通过现实生活中的素材引入新课，使抽象的数学知识具有丰富的现实背景，为学生的数学学习提供了生动活泼的材料。

二、抽象概念特征，初步理解概念

引入概念，仅是概念教学的第一步。为了使学生真正形成科学的概念，教师教学时还要引导学生逐步抽象出概念的特征，进一步理解概念。

片断2：学习圆锥体各部分的名称

首先，多媒体展示圆锥体的立体图，分别突出显示圆锥的底面、底面圆心、底面半径、底面周长、底面直径、高、顶点，同时标出字母。教师教学生读字母，然后标出各部分名称的立体图缓慢旋转，展示高、直径的空间位置。

其次，学生观察、触摸圆锥体模型，感受圆锥体有几个面，并指出侧面、底面、高、顶点、底面圆心。

再次，拆分圆锥体模型，认识圆锥体侧面是扇形，讨论高在展开图中的位置（无位置），明确扇形的半径不是圆锥的高。

片断3：认识圆锥体的各种视图

首先，多媒体演示圆锥体（侧面红颜色、底面蓝颜色）上下翻转的过程，突出正视图（红色三角形、俯视图红色圆）和由下往上看到的视图（蓝色圆）。

其次，多媒体演示正三角形绕一条直角边旋转一周的轨迹是一个圆锥体，绕另一条直角边旋转一周的轨迹也是一个圆锥体，并分别闪烁显示底面半径和高。

再次，多媒体演示从煤堆、帐篷、铅笔尖圆锥部分抽象出的圆锥立体图，并标出底面、高、顶点、底面直径、圆心。

最后，学生画圆锥体的立体图。

片断2和片断3中通过实物图片、模型以及多媒体动画，直接让学生认识圆锥体的各部分和各种视图，并抽象出圆锥体各部分的特征，初步构建新知。

三、强化实践运用，巩固概念认知

概念的形成是一个特殊的心理过程。学生初步接触概念后，还需有一个去粗取精、去伪存真、由此及彼、由表及里的加工、概括和深化的过程，以逐步形成概念。通常由教师精心安排能巩固概念的计算、判断等难易适度的问题来让学生进行练习，或者安排一些实践活动来进一步深化学生对所学概念的认识和理解。

片断4：测量圆锥体的底面半径和高

教师先为每个学习小组提供三个分别标有不同号码的圆锥体，两人一组测量三个圆锥体的底面直径和高大约是多少厘米（精确到1厘米）。然后学生以小组为单位统一测量数据，并讨论测量圆锥体底面直径和高的方法，说明理由。

学生总结方法：用大小两个三角板测量，保证高与桌面垂直，还要注意减去没有刻度的0.5厘米。

最后学生用统一的方法测量另一个圆锥体的底面半径和高，得到了正确的结果。其中，教师巡视参与讨论，指导学生测量的方法。

片断5：用沙子做一个圆锥体并测量出高度

每个学生小组准备好细干沙（每个组的沙子性状一致，但数量差别较大）、漏斗、直铁丝、报纸等用具，教师提出任务：“刚才看到大屏幕上有圆锥体沙堆，现在同学们就可以实验一下，看哪个小组能够用细沙堆成一个比较标准的圆锥体，并想办法测量出其底面直径和高（精确到1厘米）。”

学生按照教师的任务要求，积极动手用沙子做圆锥体和测量圆锥体的高与底面直径。教师注意观察学生的活动，积极予以评价，有时候参与学生的讨论，有时候建议学生相互交流，有时候鼓励学生用其他方法测量。实践活动结束后，每个学生小组总结交流经验。

上述教学实现了学生的个性化学习，培养了学生的创造性思维，不仅加深了学生对圆锥体的高、底面半径等的理解，而且使学生掌握了测量的基本方法。

概念形成的三部曲，是概念教学的核心步骤。在概念教学中，首先强调概念的引入要遵循现实性原则，既要以感性材料为基础引入新概念，又要在学生原有概念的基础上引入新概念，注意学生的“数学现实”；其次强调概念理解的科学性原则，即概念的学习要从感性认识上升到理性认识，抓住概念的本质，其中包含正确表述概念、理解概念和认清新概念与已学概念间的关系；再次强调概念强化的应用性原则，即让学生在应用中巩固所学概念，形成概念体系。此外，概念形成需要两个重要条件：一是学习者必须能从许多事物、事件或情境中认识或抽象出它们的共同特征；二是学习者必须能够辨别与概念相关或不相关的特征，以便进行区别、归纳。这两个条件都是从学生角度提出的，也就是说，概念形成对学生有一定的要求，学生必须具备一定的学习能力。

初中数学圆的基本模型篇6

关键词：圆弧形筒体结构；半解析方法；等效连续化；加劲薄壁圆弧筒的组合体；三维分析模型

1引言

随着结构体系的多样化，高层建筑开始追求在感官上能给人一种美感的建筑，如圆弧形筒体结构（图1）。本文采用半解析法[1]对弧形筒体结构进行了自由振动分析计算。计算结果表明这种半解析分析的方法是合理的。

2分析模型的建立

分析模型的建立主要包括结构的简化与运动场的确定。

本文地基按半无限大弹性地基处理。高层结构基础的刚度都比较大，为了充分利用地下空间，基础结构实际上就是上部结构向地下的延伸。由于圆弧形筒体结构的特点是由两级框架构成的,利用刚度等效和质量等效原理将其等效连续化为有不同质量和刚度的开口薄壁截面筒组合成的开口薄壁截面的加劲筒。

3控制方程的推导

本文将采用半解析方法将图1模型的共同工作问题转化为一组常微分方程的边值问题。

圆弧形筒体结构运动场的确定同筒体结构的运动场确定基本相同[2]，加劲薄壁筒体结构系统的总势能。加劲薄壁筒体结构系统的总动能,其中，为薄壁筒体的动能；为巨型柱的动能。由Hamilton原理

可得描述圆弧形筒体结构自由振动的控制微分方程组及其相应的边界条件，如下：

由以上方程组，可以采用高质高效的常微分方程求解器COLSYS进行求解.

4算例与计算结果分析

某一高层建筑圆弧形筒体结构计算数据如下：等效薄壁筒平均等效厚度为0.45m，巨型柱的尺寸为，基础高16,筒高190,筒帽高3,结构材料的质量密度取，钢筋混凝土弹性模量：,。为地基的刚度变化系数，混凝土均取，基础部分墙厚取0.6。

表1巨型柱截面尺寸改变时最大侧移与最大层间侧移

5结论

从结果可以得出以下几个结论：

(1)由表1可以看出，巨型柱截面尺寸的改变对弧形筒体最大侧移与最大层间侧移有显著的影响，因此，在圆弧形筒体结构设计中我们可以通过适当的调整巨型柱截面尺寸来提高上部结构、基础和地基之间的共同工作性能。

(2)本章的半解析解的值介于精确值与近似值之间，而且结果更接近精确值。说明本文的半解析分析方法是合理的，适合用于初步设计阶段对圆弧形筒体结构的自由振动分析。

参考文献：

[1]包世华，李华煌.高层建筑结构分析的半解析微分方程求解器方法.工程力学增刊，北京，1933.7-18.