数学建模的微分方程方法篇1

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知识的能力，但它的另外一个目的是在某个数学概念或定理本身，重点培养学生对概念、定理运用的了解。换言之，结构严谨型的任务把掌握概念或定理的内容作为完成任务的目标。

从纯数学理论角度看，国内外教材内容基本相同，都是高等数学中的经典内容，是应用最广泛的内容，当然也应该是学生必须具备的经典微积分知识。

实际应用的问题在我国教材中的篇幅较少，只涉及微积分在近似计算等一些简单的实际应用和积分学在物理、力学方面的应用，很少涉及其他领域。这就说明，我国在数学教学的实践中更偏向于结构严谨型的任务。教材中更多的是应用定理和公式解决纯数学的问题，讲究解题的技巧，这样能够培养学生的逻辑思维能力，但解题的过程往往比较抽象、难学、枯燥、易忘，学生感觉不到数学的实际应用价值，甚至有些学生会认为数学无用或者学了不会用，因此学习积极性不高，甚至厌恶数学。

国外教材的实用性相对较强，教材引入了大量实际应用问题，不仅数量多而且覆盖面广，涉及几何、物理、建筑、医学、生物、经济、金融、军事、政治、社会发展等方面。教材编写原则是“阿基米德方法”：正式的定义与方法是根据对实际问题的调查研究而得出的。坚持科学研究精神，实施问题驱动的教学原则。教材坚持从现实的实际应用问题出发，由此推导出一般性的结果。选出的实际问题是学生可以理解的问题，是能够作为驱动源的问题。强调将复杂问题归纳为简单规则和步骤的应用能力的培养。因此，美国数学教学偏向于结构发散型的任务。

二教学内容

1.数学概念

数学是由概念与命题等内容组成的知识体系，是一门以抽象思维为主的学科，概念是这种思维的语言。概念是数学课教学过程中一项至关重要的内容，是基础知识和基本技能教学的核心。对于大学生来说，在大学数学的学习过程中，正确理解概念，是掌握数学基础知识的前提条件，是学好数学最重要的一环。而运用数学知识解决问题的能力又是检验学生运用概念熟练程度的重要标志。

我国在教学过程中非常注重概念的严谨性。国内教材的特点是强调概念、理论的严谨，通常先给出严格的概念，最后才给出应用的例子，遵循的是从一般到特殊的过程。例如，微分概念的引入，国内教材介绍的顺序一般是先定义什么是“可微分”，然后给出“微分”的定义：微分是函数增量的线性主部，再指出一元函数可导即可微，而且在可微的条件下，推出函数的微分等于导数与自变量微分的乘积，最后作为微分的应用，给出微分在近似数值计算中的几个非常简单的例子。定义微分的过程是非常严谨的，可是，抽象的概念，对于大多数工科学生来说，难以深入理解，因而也难以加深记忆，随着微分计算题的练习，很多同学很快忘记了教材中所定义的这些概念，关于微分的理解只剩下导数与自变量微分的乘积。

国外教材在讲述这部分内容时，顺序刚好相反，先从几何直观入手，借助曲线上一点附近可以用切线来近似代替曲线，引入线性逼近思想，然后通过一系列数学、物理等方面的例子加深对线性逼近的讨论，最后从前面的例子中提炼出微分的概念。而且直接把微分定义成导数与自变量微分的乘积，回避了“可微分”的定义以及“可微等价于可导”这个定理的证明。相比之下，美国教材更重视引入数学的思想，不拘泥于数学概念以及逻辑上的严谨，有时候书中出现的概念可能是不严格的，但在数学上并没有错误。把加强解决问题的方法和技能的训练作为重点，鼓励学生直观形象地思考问题。由于直观的、面向应用的内容更多，学生理解起来相对容易。

2.数学史

数学史是数学发展的历史，是数学概念、方法、思想的起源，也是数学家们刻苦勤奋、锲而不舍地追求真理，以生命和热情谱写的壮丽诗篇。作为大学生，应当对数学史有所了解。数学史不是简单的数学家的故事集和数学成果史，还应包括大量的问题、猜想、谬论和丰富的思想方法、认识论等。

国内教材中，更多地注重定理的推理证明和定理的应用，不会注明定理的创始人。但是在国外教材中，无论是什么样的定理，几乎所有定理都会把该定理的发明人列在该定理之前。例如：在讲到多元函数的混合导数时，有这样一个定理：“假设二元函数的两个混合二阶偏导函数连续，则这两个混合二阶偏导数相等”，国外教材中详细给出了该定理是法国数学家AlexisClairaut（17l3～1765年）给出的。像这样的小细节，国内教材一般不追究定理的来源，这就形成一种思维定势，学生只接受定理，不会追根溯源，寻找发现者当初的发现过程，也就失去了一种探究的机会。

3.数学建模思想

建立数学模型的过程叫做数学建模，数学模型是“对现实世界的某一特定对象，为了某个特定目的，作出一些重要的简化和假设，运用适当的数学工具得到的一个数学结构，它或者能解释特定现象的现实性态，或者能预测对象的未来状况，或者能提供处理对象的最优决策或控制”。数学模型的对象是客观世界中的实际问题，数学模型本身是一个数学结构，可以是一个式子，也可以是一个图表。数学模型的作用是对现象进行解释、预测、提供决策和控制。

在微积分的早期学习中，渗透数学建模的思想和方法是非常重要的，不仅能使学生获得用数学建模的思想和方法以及解决问题的初步能力、提高学习微积分和数学知识的兴趣和积极性，更能使学生在后续专业课程的学习中更加积极主动。怎样把数学建模的思想和方法有机地融入微积分的课程，是一项迫切而又艰巨的任务。困难之一就是数学建模解决各领域的专业实际问题，往往需要比较高深的数学方法。美国教材努力精选只涉及较为初等的数学知识而又能体现数学建模思想的案例，这样就能吸引学生。数学建模思想渗透在教材的各个地方。例如，介绍复合函数的概念，国外教材是这样介绍的：如果石油从一艘油轮中泄出，那么，泄出石油的表面积随时间的增加而扩大。假定油面始终保持圆形（事实上，由于风、海潮以及海岸线位置等原因，情况并非如此）。油的表面积是半径的函数A=f（r），半径是时间的函数。如果半径r=g（t），油的面积可以表示为时间的函数。我们就说A是一个复合函数，或是一个“函数的函数”，记作A=f（g（t））。同时，国外教材还配备了大量的课后习题，要求学生建模完成，所选的例题只涉及学生所学的微积分知识，不会涉及较为高深的知识，因此更能激发学生的兴趣。

三教学方法和教学手段

1.启发式教学

每一个概念的产生都有着丰富的知识背景，摒弃这些背景，直接灌输给学生一连串的概念是我国传统教学模式中常见的做法，这种做法往往使学生感到茫然，放弃了培养学生概括能力的极好机会。国内的教材在介绍概念的时候，大多数都是直接用ε～δ语言引入，由于概念本身具有严密性、抽象性和明确规定性，传统教学中比较重视培养思维的逻辑性和精确性，在方式上以“告诉”为主，让学生“接受”新概念，置学生于被动的地位，思维呈依赖性，这不利于人才培养。

国外教材的一个特点是注重启发性，通过问题启发学生，使学生带着问题进行学习和思考，无论教材的教学内容还是配备的习题，都有大量富于启发性的讨论和内容。特别是其中的应用和探索课题非常具有启发性，精心设计，教学生如何应用数学知识解决实际问题。如，国外教材在正式开始之前，先有“微积分简介（APreviewofCalculus）”，通过微积分中的典型问题，如面积问题、切线问题、数列的极限、数列的和等对微积分处理问题的思想和方法作一介绍，紧接着提出一系列与现实生活密切相关的、有趣的问题，如何解释超市货架上易拉罐的形状？电影院里看电影的最佳位置在哪里？假如一个玻璃弹子、一个壁球、一根钢棒、一根铅管同时从斜坡滚下，谁最先到底？……学生带着这些问题学习微积分，就会时时想着该如何用所学的微积分知识解决这些问题？所学的微积分知识还能解决什么其他问题？这样的问题不仅清楚地向学生表明：微积分就在我们身边，解决实际问题并不像人们想象的需要高深的数学知识，只要有心去想、去做，数学知识就能解决一些实际的问题。

2.分层次教学

在以专业分班授课的条件下，实施教学的过程中，普遍采用的方式在内容、难度上只能照顾大多数中等水平的学生，教学中会出现有些学生吃不饱，有些吃不了的现象，不能使不同层次水平的学生都满意。因此可以考虑分层次教学的操作方法。

国外教材的各章节的教学内容一般都是给学生介绍最基本的概念，保证各个水平层次的学生都能够理解。同时除了配置大量的练习题（Exercises）外，还配置了四种类型的小课题，它们是应用课题、探索课题、实验课题和写作课题。不仅习题数量大，而且类型多、编排层次分明，从最简单的概念复习题到难度各异的计算题、证明题和应用题，一直到综合性较强的探索研究题，这样就满足了不同层次水平学生的需求，达到了分层次的效果。

3.现代计算机辅助教学手段

在高等数学课程的教学过程中，应提倡和推行板书与多媒体辅助教学相结合的教学方式，充分发挥计算机在教学中的作用。如果板书较多，坐在后排的学生常常看不清板书和听不清教师的讲授，在一定程度上影响了课堂教学质量。

同时，在高等数学的教学过程中运用多媒体，有助于提高学生的理解能力和应用数学方法的兴趣。国外教材图文并茂，教材附送的光盘可以提供教材中部分图片。教材的正文和习题部分都插入了大量的图片，有的是利用数学软件制作而成，可以帮助学生更好地发现规律，同时又觉得生动有趣，阅读时不感到枯燥。在某些例题与习题的解答中，有时会借助比较强大的专用数学软件等来代替较为繁琐的手工计算，让学生可以专注于对数学知识的理解。而我国教材在这方面显得比较欠缺，除了有些简单的几何图形外，没有体现现代化的技术手段。

四结束语

通过上述比较可以看到，中美两国在高等数学教育方面的确存在差异，不能笼统地认为哪一种好，两者各有利弊。在今后的教学过程中应该保持我国教学方式中优良的地方，同时借鉴国外教学过程中的“质疑”精神，努力提高高等数学的教学质量。

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数学建模的微分方程方法篇2

教学以传授理论知识为主，虽然也讲培养能力，但主要是解题能力，很少体现自学能力，分析解决实际问题的能力。传统的数学教育普遍存在着脱离实际，重理论，轻应用的倾向。这样的教学内容使学生感到的是数学的枯燥，远离生活实际，同时也使学生的创造性得不到充分发挥，不利于能力的培养。尽管目前大部分高校都开设了数学建模”选修课，但仅此一举，对培养学生能力所起的作用是微弱的。一方面，由于数学建模”所包含的内容非常广泛，对不同问题分析的方法又各不相同，真正掌握难度很大。另一方面，数学建模教育实质上是一种能力和素质的教育，需要较长的过程，单靠开设一门选修课还远远不够。另外，数学建模”作为一门选修课，学习的人数毕竟是有限的，因此解决这一问题的有效办法是在数学教学中渗透数学建模思想，介绍数学建模的基本方法。一、数学教学过程中数学建模思想培育1．数学建模的思想内涵数学建模是指人们对各类实际问题进行组建数学模型并使用计算机数值求解的过程。数学建模一般要经历下列步骤。(1)调查研究。在建模前，建模者要对实际问题的历史背景和内在机理有深刻的了解，对『廿】题进行全面深入细致的调查研究。(2)抽象简化。建模前必须抓住问题的主要因素，确立和理顺因素之间的关系，提出必要的、合理的假设，将现实问题转化为数学问题。(3)建立模型。这一步是调动数学基础知识的关键，要将问题归结为某种数学结构。(4)用数值计算方法求解模型。这要求建模者熟练地使用Mauab、Mathtype、Spss等软件。(5)模型分析。对所求出的解，进行实际意义和数学理论方面的分析。(6)模型检验。虽然并非所有模型都要进行检验，但在许多问题中，所建立的模型是否真实反映客观实际是需要用已知数据去验证的。(7)模型修改。对不合理部分，如变量类型、变量取舍、已知条件等进行调整，使模型中的各个因素更加合理。(8)模型应用。数学模型及其求解的目的应该是对实际工作进行指导及对未来进行预测和估计。由此可见，数学建模是一个系统的过程，在进行数学建模活动的过程中需要利用各种技巧、技能以及综合分析等认知活动。2．高校数学教学的现状及其弊端我国高等院校数学课课程在授课内容上，主要着眼于数学内部的理论结构和它们之间的逻辑关系，存在重经典、轻现代，重分析、轻数值计算，重运算技巧、轻数学方法，重理论、轻应用的倾向。过分强调数学的逻辑性和严密性。在教学方法上，数学教学越来越形式化，注重理论推导，着重训练学生的逻辑思维能力，而忽视理论背景和实际应用的传授，致使学生不知如何从实际问题中提炼出数学问题以及如何使用数学来解决实际问题。数学应用的讲解，也仅仅停留在古典几何和物理上，忽视数学在实际工程问题中的应用，导致学生主动应用数学的意识淡薄，不利于培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，不能满足后续专业课的需要。教学过程中以教师课堂讲授为主。多采用注入式。缺乏师生间必要的沟通与互动，不利于学生能力的培养，更不利于创造性思维和创造能力的培养。二、数学建模思想融入数学教学中的有效途径由于教材对原始研究背景的省略、教师对原始研究背景的重视不够和课堂有限的学习时间等各种因素，传统数学教育很少对前人的数学探索过程进行再现。然而，这正是数学建模思想的点睛之处。任何一门数学分支学科都是由于人类在探索自然规律过程中的需要而发展起来的，所以，重要概念的提出、公式和定理的推导以及整个分支理论的完善都是前人对现实问题进行数学建模的结果。那么，如何将前人的建模思想在传授知识的过程中再现给学生呢?经过长期教学实践，笔者认为，可以通过如下两个途径来实现。一是尽量用原始背景和现实问题，通俗的比喻，直观的演示引入定义、定理和公式，然后再由通俗的描述性语言过渡到严谨的数学语言。这样不仅使学生真正了解到知识的来龙去脉，熟悉了这类问题的本质属性，而且掌握了处理这类问题的数学建模方法，即学会了如何从实际问题中筛选有用的信息和数据，建立数学模型，进而解决问题。同时还让学生认识到数学不是孤立的，它与其他领域紧密地联系着。数学模型所表现的符号美、抽象美、统一美、和谐美与严谨美更让学生浸润在数学美的享受之中。例如，教材中以户矿、户Ⅳ”语言给予形式化精确描述的极限概念，由于这种描述高度抽象与概括，造成初学者难以用自己的思想去思考、理解它的含意，只能把它看做是一些干巴巴的数学符号，不加理解地死记它，久而久之就失去了学习的兴趣。如果我们从刘徽的割圆术”讲起，并利用课件进行动态数值模拟演示。尽可能地向学生展示极限定义的形成过程，挖掘极限定义的实质，然后再利用P矿、。户Ⅳ”语言给出准确的定义，从而使学生理解极限”这个概念模型的构建过程。这样既省时又直观，教学效果自然更佳。二是精选数学应用例题，进行建模示范，启发学生用数学解决实际问题的意识。我们本着减少经典、增加现代、减少技巧、增加应用的原则，弃去了原书中部分经典例子，加入既能反映问题，又能开阔学生眼界的例子。这样教学，很容易牵动学生的数学思维，加深了他们对知识的理解，让他们体验到了应用数学解决实际问题的乐趣，激发了他们用数学的思维和方法积极地探索现实世界。三、数学建模思想融入数学教学中的一些教学案例1．数学建模思想融入微积分教学中的教学案例经典微积分学理论是近代科学的伟大创造。它的背景包含了前人数学建模的过程，蕴藏着丰富的创造性思维的轨迹。无穷小量分析”和微元分析”是微积分学的主要思想方法，微分和积分的基本概念就是运用这两个思想方法，在解决实际问题中，分析和处理变与不变、直与曲、局部与全局、近似与精确、有限与无限的矛盾中建立和发展起来的。#p#分页标题#e#下面以定积分定义的教学为例，谈谈如何切入数学建模的思想。设计如下教学过程：(I)实际问题。如何求曲边梯形的面积?(2)引导学生利用无限细分、化整为零、以直代曲取近似、无限积累聚零为整取极限”的微积分的基本思想，得到问题的表达式。(3)概括总结，抽象出数学模型，从而引出定积分的定义。(4)回到实际问题中。数学模型的根本作用在于它将客观原型化繁为简、化难为易，便于人们采用定量的方法去分析和解决实际问题(这样的习题在教材和相关教辅上很多)。2．数学建模思想融入线性代数和空间解析几何教学中的教学案例在讲Gauss消元法时，我们向同学们介绍了计算机层析X射线照相术。教学过程大致如下：(1)实际问题。计算机层析扫描仪根据仅从病人头外部测得的X射线，来计算此病人大脑的图像，这样做合理吗?(2)模型建立。引导学生用点线图(点代表人体某个器官，线代表X射线)来描述扫描仪的工作原理，建立相关的线性方程组。(3)模型求解。可让学生利用刚学的Gauss消元法求解。(4)模型分析。解释计算机层析x射线照相术的合理性。这样让学生领悟到这样简单的数学知识也能应用到如此神秘的仪器中，学生学习线性代数的愉悦感油然而生。这种给形式化的抽象的数学问题赋予实际意义的做法，使学生认识到数学既源于生活、又高于生活，缩小了形式化”的抽象数学与现实之间的差距。3．数学建模思想融入概率论与数理统计教学中的教学案例在讲全概率公式时。我们向同学们介绍了常染色体遗传模型。教学过程大致如下(1)实际问题。在常染色体遗传中，后代是从每个亲体的基因对中各继承一个基因，形成自己的基因对，基因对也称基因型。植物园中某种植物的基因型为AA、Aa和aa。计划AA型的植物与各种基因型植物随机相结合的方案培育植物后代，经过若干年以后，这种植物的第n代的三种基因型分布会发生什么变化?通过这样的方法是否可以纯化品种?(2)模型建立。引导学生利用全概率公式建立起第n代的三种基因型分布与第n-I代的分布的递推关系式。(3)模型分析和评价。通过取极限的结果来解释用这种方法纯化品种的科学性．4．数学建模思想融入常微分方程教学中的教学案例建立常微分方程，解常微分方程是建立数学模型解决实际问题的有力工具。因此，教师在传授常微分基础理论的同时，还应多花时间讲授在实际问题中那些可用此方法建模、如何提炼出微分方程模型。下面以分离变量法的教学为例，谈谈如何切入数学建模的思想。设计如下教学过程：(1)实际问题。根据国家计划生育委员会估计，中国总人口的峰值年是2044年，峰值人口数达到15．6．15．7亿。如何建立一个数学模型，合理的论证计生委的估计及如何准确定位、保持人口合理增长?(2)模型基本假设。假定人口总数是随时间连续可微地变化，并假定单位时间内人口增长量与当时的人口成正比。(3)模型建立。引导学生用微分来刻画人口增长率，用一阶齐次微分方程建立模型。事实上就是著名的Malthus人口模型。(4)模型求解。可让学生利用刚学过的分离变量法求解，热炒热卖”以便巩固。(5)模型分析与检验。可让学生课后查阅计划生育委员会的统计数据，进行检验及完善。这种将数学问题赋予生活内涵的教学法，可唤起和支配学生学习数学和研究的兴趣。更重要的是，在人口统计方面的惊人数字给学生的震撼力，可引导着学生关注社会、关注未来。通过对模型的检验，使学生体验到对数学问题解答的合理性进行检验的必要性，从而培养了学生敢于质疑、善于反思、精益求精的治学态度。5．数学建模思想融入运筹学教学中的教学案例运筹学是一门应用性很强的数学科学，目前几乎涉及社会的各个方面。除在产品的市场销售、生产计划的制定、物资的库理、运输问题、设备更新、工程的优化设计、城市管理、财政与会计、人事管理、计算机信息系统、军事领域有广泛系统的应用以外，在建筑、纺织、水利、邮电、科学研究、工农业及农林医等方面也有它们的身影。运筹学在解决这些实际问题时，按研究对象的不同所采取的建模方法各异。运筹学模型可分为确定性模型和随机性模型。确定性模型包括：线性规划模型、目标规划模型、整数规划模型、非线性规划模型、网络分析中的模型。随机性模型包括：动态规划模型、捧队论模型、存储论模型、对策论与决策论中的模型。因此，从一定意义上说，数学建模属于运筹学的一部分，所以，教师在运筹学的教学中更应该突出数学建模的思想，强化学生的数学建模能力，增强学生的数学应用意识。运筹学在解决大量实际问题过程中形成了自己的工作步骤，所以教师在讲授运筹学时，因尽量遵循如下步骤。(1)提出和形成问题。教师应尽可能选取贴近学生实际的问题。(2)建立模型。引导学生分析问题的要旨(属确定性问题还是随机性问题)，用准确的数学语言表述问题，并帮助其建立起模型。(3)模型求解。可让学生利用Lindo、Lingo或Matlab自行求解。(4)解的检验。在作灵敏度分析时，需要建模者一定的实践经验，教师应对学生的所做结果给出及时的肯定和指正。(5)解的控制和实施。此步是对问题的决策者提出相关建议，也是将所得的研究结果用通俗易懂的语言进行再次翻译”。四、教学中渗透数学建模思想需要注意的几个问题数学建模不仅是数学知识的应用和升华，而且是一种数学思想的表达和教学方法，实际上基本概念、公式、定理都是一个数学模型。所以，数学教学的实质就是数学模型教学。在教学过程中贯穿数学建模的思想和方法时，应注意如下几点。(1)模型的选题要大众化。应选择密切联系学生，易接受、且有趣味、实用的数学建模内容，不能让学生反感。尽量讲清数学模型的运用范围，即它可以解决怎样的现实问题。(2)设计颇有新意的例子，启发学生积极思考，循序渐进，发现规律。(3)在教学中举例宜少而精，忌大而泛，冲淡高等数学理论识的学习。没有扎实的理论知识，也谈不上什么应用。(4)应从现实原形出发，引导学生观察、分析、概括、抽象出数学模型。(5)要循序渐进，由简单到复杂，逐步渗透，逐步训练学生用所学的数学建模知识解决现实生活中的问题。#p#分页标题#e#

数学建模的微分方程方法篇3

关键词：数学建模教学;教学改革

【中图分类号】G420

一、数学建模教学贯穿于大学数学教学模式中

我院连续三届参加大学生数学建模竞赛及面向全院开设数学建模选修课、培训形成了一定的教学模式，我们从三方面进行这项教学工作：

（一）数学建模进课堂，贯穿大一、大二两学年，融入微积分、线性代数、概率论与数理统计等大学数学主干课程教学过程中，教学时间为32个学时，其中微积分16课时，线性代数6课时，概率论与数理统计10课时。在教学过程中，要通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、数学建模与实践能力，注意理论联系实际。课堂教学以广泛介绍数学建模基础知识和方法为特点，积极培养学生主动思维，给学生留下充足的自我学习与研究的空间，引导学生去主动研究与实践，在实践中不断探索和寻找建立数学模型的有效途径，提高学生的思维逻辑能力、学生互相协作能力、学生的创造能力，增强学生的适应能力、学生的自学能力，培养学生分析和解决实际问题的能力等；

（二）开展第二课堂

1、面向全院开设数学建模选修课，教学时数20课时，主要通过各个领域中的实例介绍各种数学方法建模，主要包括：初等数学方法与实验；Matlab、Lingo的使用；微分法建模与实验；微分方程建模与实验；差分法建模与实验；优化方法建模与实验；离散方法建模与实验；随机方法建模与实验。

2、在全校一、二年级学生中选拔学员，组建数学建模培训班，利用下午七八节课晚开展第二课堂教学，并利用晚自习进行数学实验。既给参加培训的学生讲授数学理论知识也介绍数学建模实例，传授计算机知识、数学软件、科技论文写作等知识，又培养学生的创新意识与实践能力。把课堂讲授与课外讲座相结合，查阅、收集文献资料与自学指导相结合，培养学生的实际动手能力。

（三）实践教学环节组织、指导学生参加全国大学生数学建模竞赛。为了全面提高我院学生数学综合运用能力，激发广大学生学习数学的热情，经过前期的严格培训和层层选拔及考核，组队参加全国大学生数学建模竞赛，培养学生积极进取、团结协作、吃苦耐劳的精神。

二、数学建模教学在大学数学教学的渗透及培训教学方法

（一）制定教学大纲

根据我院学生的实际情况，在原有的教学内容中融入数学建模教学内容，将数学建模的思想和方法融入微积分、线性代数、概率论与数理统计等大学数学主干课程教学过程中，如在教授微分方程式，介绍如何应用几何与物理意义建立微分方程模型解决某些实际问题，讲定积分的应用时，介绍如何用微元分析法建立数学模型求一些几何量和物理量等。

（二）数学建模选修课授课计划及课件、培训方案

制定合理、详细的课程内容、考试大纲；完成教案、课程设计；实现多媒体教学，完善精品课程设计与制作；根据学院具体情况制定合理的赛前培训方案。

三、教学方法及考核办法

（一）教学方法

通过教研活动教师讨论教学大纲及授课计划，制定合理的教学大纲和授课计划，创新教学模式，加强教师与学生的课堂互动交流，培养学生自主学习能力，通过教师提出课题，学生分析研究、课堂讨论，老师总结的授课方式完成教学内容。

（二）考核评价

在考核中既重视学生平时学习效果，又有统一的期末考核，比例为46。在平时考核中主要包含上课情况、作业情况和单元测验情况三部分。为鼓励与培养学生应用数学解决实际问题，可以在传统作业的基础上，增加能体现学生对所学的知识深入理解和对知识与方法整理的小论文形式。请学生寻找生活和专业学习过程中所遇到的能用数学知识解决的实际问题，并以小论文形式提交研究结果，教师根据论文质量给出平时成绩的加分项目。我们要加强过程考核，特别是实践过程的考核。学生成绩的最终评定采用过程考核成绩与期末考试成绩相结合的评定方法，提高学生重视学习过程的自觉性。

四、师资队伍的建设

通过外培参加学术研讨会、山西工业与应用数学学会组织的每年一届的数学建模培训、校内组织的导师组织的研讨会等方式，对我校较多青年数学及计算机教师进行数学建模教学与参加指导培训，通过培训，拓宽了教师的知识面，改善了知识结构，利用数学知识和计算机技术解决实际问题的意识和能力提高了，创新精神与创造能力得到了加强，教学水平、科研能力都有较大的提高。同时也培养了他们关心热爱学生不计较个人名利得失，献身祖国教育事业的精神。这对于一支新型的数学教学、科研队伍的全面健康成长起着越来越大的作用。

五、教学效果

近几年来，我们在大学一、二年级开设了数学建模课程、数学建模选修课、数学建模培训、竞赛及数学建模课程设计。概括来讲，有利于学生知识和素质的全面培养，增强实践动手能力和操作技能，具体体现在如下几个方面：

1.提高学生的思维逻辑能力。

2.增强学生的适应能力。

3.增强学生的自学能力，调动学生学习的积极性。

4.提高学生互相协作能力。

5.培养学生分析、解决实际问题、吃苦耐劳的能力；

6.提高学生的创造能力。

2011年到现在我院共组织了27个数学建模队参加2011―2013年全国大

学生数学建模竞赛获得山西赛区全省一等奖1个、全省二等奖2个、全省三等奖10个的好成绩。

五、经验总结

首先教师对数学建模课程属于摸索阶段，需要通过培训及向子弟学校学习慢慢成长过程。其次对于实践教学环节，软硬件方面的条件是较差，赛前临时向有关部门借用，软件的学习与应用不能常态化，资料和条件也很缺乏；加之学生入学分数很低，因此学生对数学建模竞赛明显缺乏信心，这些都给平时授课及数学建模竞赛活动带来了很大的困难，参赛学生集中培训时间短，指导教师经验不足.

总之，通过多年的实践教学表明，数学建模教学在培养学生创新精神与实践能力中发挥了极大的作用，也对我校数学教学改革起到了积极的推动作用。我们将认真总结经验，争取更好的成绩。

参考文献：

[1]李大潜.中国大学生建模竞赛[M].第二版.北京：高等教育出版社，1998年.

数学建模的微分方程方法篇4

关键词：流场分析；固体微粒；光滑粒子动力学；离散单元法

中图分类号：TP204文献标识码：A文章编号：1009-3044（2016）10-0262-04

Abstract：Accordingtousingmicrowaterjettorealizecapturingsolidparticleandimplementingpositioncontrolofmicro-particle.Thispapermainlypresentamethodthatdiscreteelementmethodandsmoothedparticlehydrodynamicsmethodareemployedtoestablishthesolid-liquidcouplingmodelwhichisusedtoanalyzethetrappingmechanism.AflowfieldmodelissetuptosimulatedynamiccharacteristicofwatertweezersbyComputationalFluidDynamics（CFD）.Theselectionofboundaryconditions，initialguess，solvercontrol，andconvergencestrategiesofthemodelisdiscussed.Velocityandpressureofstreamlinearepredictedanddiscussedatthecertaininputconditions.Thesimulationresultsdemonstratethatitisanefficienttheorymethodtoeventuallytrapthesolidparticlesbywatertweezers.

Keywords：fluidfieldanalysis；solidparticle；SmoothedParticleHydrodynamics；discreteelementmethod

在微制造领域，微纳产品的制造、装配会涉及不相容的加工工艺、复杂的几何外形和不同制造材料的操作机理，产品的实现将依赖于微尺度的定位、定向和装配操作，从而使微小物体的捕捉及操作在微制造领域显示出重要的一面[1-3]。本文提出利用环空水射流实现直径为1～10毫米固体微粒的捕获与操控。针对这一问题研究的复杂性体现在：1）环空微流场如何形成对单个柱状固体微粒的捕获和控制；2）柱状固体微粒在环空水射流控制下的稳定性[4]。关于水射流与固体微粒的耦合问题，多数研究从流场的角度进行分析，将动力学与简单的单相流体力学结合，未从耦合作用的原理出发对基于液-固两相流动的耦合模型效果进行优化；②现有测试手段不足限制液-固耦合作用的实际测试，因而缺乏足够的实测数据难以对所建立的水力动力学模型进行有效的实证和评估[5-7]。目前关于液-固微流场的计算主要有网格法和无网格法，其中网格法中具有代表性的是离散单元法，无网格法最具代表的是光滑粒子动力学法[8]。离散单元法和光滑粒子动力学法具有各自的优势和特点，鉴于离散单元法是目前应用最为广泛和成熟的数值计算方法，其计算效率和精度相对较高，因此如果能在固体微粒与微流场的耦合过程中将离散单元法和光滑粒子动力学法相结合，将是提高柱状固体微粒运动特性计算精度的一种思路。为了更好分析环空水射流与固体微粒的瞬态运动过程，论文将光滑粒子动力学方法与单元网格方法相结合从而模拟环空喷嘴内水射流的速度变化对固体微粒运动轨迹的影响，研究水射流和固体微粒撞击时的瞬态变化过程。当固体微粒处于宏观稳态后，分析环空水射流和固体微粒耦合作用过程下的能量交换变化过程。因为光滑粒子动力学方法在模拟形变及粒子动力学问题时有较大的优势，而有限单元发在模拟连续体介质准确性更高，因此把两者的优势结合起来，从而发挥两者优势，不仅保证计算精度而且能够提高计算效率[9]。通过两者算法的结合方法与传统有限元方法中的“点-面”罚因子接触算法类似，将光滑粒子动力学中的微粒看作主动接触体的“节点”，而有限体单元的外单元表面当作被动接触面，当接触对“节点”和单元体产生干涉作用时，采用罚因子法计算两者间的接触力。

1水射流光滑粒子动力学理论模型

光滑粒子动力学理论模型是利用核函数来描述粒子与其相邻粒子之间的相互关系，如图1所示。它具备以下几个特点：

1）利用粒子来分析问题域，且粒子与粒子之间无任何连接关系；2）采用积分法构建函数核的近似方程，以保证光滑粒子动力学方法在计算上收敛，只要能确保计算精度，一般都能保持较好的鲁棒性。

一般情况下，流场的长度往往是相同的，不随时间和空间的流体密度变化的数值模拟。但在现实中，它会导致增加或减少的影响域粒子的变形会影响计算的准确性。例如，压缩变形，由于颗粒间距减小，域内的粒子数将增加，拉伸变形影响范围内的粒子数量减少，有许多方法来平滑长度在SPH。光滑粒子动力学常用的核函数包括B样条函数，但B样条函数的一阶和二阶导数在支撑域内不是单调递减，容易引起张力不稳定[10]。在本文中，一种最简单的方法是通过使用光滑长度平均密度的改造更新，B样条函数可表示为，

其中，[r]是两微粒之间的距离，[h]是光滑长度，[C]为核归一化常数，其值在二维模拟中为[15/7πh]，在三维模拟中为[3/2πh]。

对于流体的形变过程，流体离散粒子的相互距离随时间会发生较大变化，因此在模拟计算中需考虑粒子间距变化而选择合适的光滑长度，流体粒子的分布与光滑长度有着一定的联系，所以要遵循随时间的连续变化规律。当粒子远离时，光滑长度增加，当粒子靠近时，光滑长度减少，通常情况下保持每个粒子邻域中的相邻粒子数相当。

2水射流及水槽中水的SPH模型

水射流光滑粒子动力学模型是建立一系列的粒子来描述流动的流体，并将流体的物理、数学特性赋予粒子，图2（a）、2（b）分别为水射流离散微粒和水槽中离散水粒子的SPH模型。采用MAT-Null材料模拟水射流材料特性，利用Mie-Grueisen状态方程计算液体压力大小，为兼顾计算精度和效率，喷嘴流动计算的网格数量在2.7万左右。在网格设置过程中，为了适应流场变化，分别在流速梯度较大区域和较小区域设置较密网格和较疏网格，并尽量保证网格面与射流的流动方向垂直，以减小计算过程中的伪扩散[11]。图2显示了计算网格的若干特征截面，网格质量较高，符合CFD对网格的节点聚集度、光滑性、单元形状等方面的要求，最后利用光滑粒子来替代喷嘴FEM模型中网格节点构建喷嘴流道的SPH粒子。

整个喷嘴模型由2.7万个SPH粒子建立一段长50mm，内径为1mm，外径为2mm的环形水柱，以3m/s的速度与漂浮在水面上的固体微粒碰撞，根据SPH中粒子的个数，确定每个粒子所负载的质量。

在LS-DYNA的材料库模型中部分材料在压力作用下促使原有密度发生改变，需通过状态方程来计算物质内部压力变化。LS-DYNA有14种状态方程，通常情况下状态方程中的主要参数需通过试验来确定。Mie-Grueisen状态方程可模拟水射流的冲击速度和固体微粒速度来确定被压缩和被扩张水的压力。水的状态方程能够决定水的状态，水射流中在高速冲击状态下的压力可表示为：

1）固体微粒的FEM模型

在ANSYS/LS-DYNA中建立直径为1.6mm球形固体粒子如图3所示，将整个模型划分成256个8节点的六面体单元。固体颗粒材料在本文中采用线弹性材料模型橡胶，即MAT-Elastic，其对应的杨氏模量为0.01-0.1GPa，泊松比是0.27，密度是700kg/m3。采用的求解条件：侵入固体（immersedsolid）条件。

2）瞬态下水射流冲击微粒的问题描述与计算模拟

瞬态研究方法考虑以下几点假设：

①两相流由固体微粒和水构成；

②固体微粒在水射流作用下能够加速运动；

③水射流与固体微粒耦合过程中保持动量守恒；

④固体微粒的动量由高速水射流传递得到；

⑤忽略空气、重力和摩擦力的影响。

纯水射流可看作成两相、稳定、轴对称紊流，该射流通过一个薄的环形喷嘴，作为自由射流进入薄薄的空气后进入水箱与固体微粒耦合。模拟射流从喷嘴开始进入空气域，然后进入水箱域的整个射流的流动过程。计算领域跨越两个连接表面，一个是水-空气耦合面，而另一个是固-液耦合面。当水射流通过固体颗粒时，微粒被困住于水射流中心，从而形成捕捉。为了保证整个水槽中水的相对稳定性，水射流通过水箱进行循环。

整个水域包含三个部分：空气域，水槽域及环形喷嘴域，环形喷嘴内径为1mm，外径为2mm，喷嘴长度为50mm，水槽水域模型的三维尺寸为150mm×150×50mm。固体微粒模型的直径为1.6mm模型，流场模型尺寸为200mm×200mm×100mm，水槽出口直径为8mm。为了模拟水槽的真实边界条件，水槽的四个侧面和底面均设置为透射边界条件。

3点-面接触的SPH和FEM藕合方法

SPH粒子可视为特殊的集合，其中集合中的参数包括节点编号、节点空间位置和节点质量[11]。把有限元设定为主节点，光滑粒子设定从节点。耦合过程如图4所示，二者通过接触算法进行耦合。考虑到核函数是常数，在接触领域算法中，水粒子与塑料粒子的接触力的算法采用式（10）计算。

4水射流冲击固体微粒的瞬态数值模拟分析

水射流模型由光滑粒子动力学构建，图4为固体微粒与SPH微粒的耦合模型，SPH粒子呈层状结构，固体微粒采用离散单元法建模。图5为整个水射流的SPH-FEM冲击模型。

利用SPH方法与FEM的耦合方法对速度在3m/s范围内的水射流进行了数值模拟，图6为水射流达到固体微粒表面的形变情况，根据查看的位移曲线，固体微粒运动并没有形成，其在重力方向的位移量很小。

图7为固体微粒在水射流冲击速度下的位置响应与形变过程，以及水槽中水位移变化状态。由数值模拟的结果我们可以这样描述模拟捕获机理：首先高速水射流粒子高速撞击在固体微粒表面的瞬间，在接触固体面上形成较高压力，从而使水射流状态发生跃变，这种强烈扰动必然使水射流分别向固体微粒表面传播。在固体微体的碰撞域，应力超过材料强度极限而形成形变，支撑固体微粒的水面由于瞬间压缩产生较强的支撑力，使固体微粒钳住在射流中心，随着初始冲击固体微粒表面后射流的剩余速度，一部分粒子与水槽中的融合，向周边扩散，并在固体微粒的周围形成凹陷，同时一部分粒子继续向下运动，形成对水的压缩，对固体微粒进行支撑。

5结论与总结

本文利用计算流体力学对整个过程进行了初步探讨，对固体微粒在水射流流场作用下的瞬态和稳定的动力学特性进行了深入描述，通过模拟仿真证明水射流形成对微粒捕获的可行性。整个流场模型建立采用SPH（光滑粒子动力学）和FEM（有限元方法）的混合耦合模型分析了环空水射流捕获微粒的形成过程。利用环空水射流捕获固体微粒的仿真结果表明，微射流通过环形喷嘴后在满足一定条件下会形成“水镊”，钳住固体微粒。此外，模拟结果显示固体微粒周围的速度场和压力场能够为微粒捕集提供良好的条件，模拟结果与预测模型中获取的结果保持一致。在接下来研究中，将通过优化喷嘴设计参数和工艺参数，从而为优化喷射条件提供必需的知识体系，通过改变微喷嘴喷射角来实现对微射流水力参数推导出固体颗粒的取向的有效控制，喷嘴的姿态角和固体颗粒的态度之间的耦合，以最终利用环空水射流实现对固体颗粒的精确控制。

参考文献

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数学建模的微分方程方法篇5

关键词：微课堂、翻转课堂、教学模式

一、微课与翻转课堂相结合的教学特征

在法律传统教学过程中，课堂教学是唯一的教学模式。课堂上教师负责全面传授法律知识，学生则埋头苦记笔记。至于课后学生是否复习，如何复习则不是教师的任务，教师与学生唯一的交集就是课堂。因此，这种教学模式要想得到如期的教学效果，关键在于学生的积极性。但实践证明，学生往往听完课程之后，几乎没有记下什么。雁已飞过，却没有留下痕迹，教学效果并不如意。而微课程则是指时间短、内容简单，一次微课只涉及一个教学知识点，并运用网络开展的一种新型教育方法。佛山市教育局胡铁生老师对微课的定义为：“微课”又名“微课程”，是“微型视频网络课程”的简称，它是以微型教学视频为主要载体，针对某个学科知识点或教学环节而设计开发的一种情景化、支持多种学习方式的在线视频课程资源”。微课程作为一种新型的教学方法具有新颖性、生动性的特征外，它还是一种新型的“课程”组成单元，具有开放性、动态性的资源结构表征，微课在我国推行伊始就受到学生的喜爱。微课和传统教学相比较虽有诸多的优势，但是如果不与翻转课堂相结合进行教学，那也只是一种教学理念而已。所谓翻转课堂是指将传统传授模式裂变为三个教学过程即课前，课中和课后。随着网络技术的普及以及大数据时代的到来，学生可以通过网络获取自己想要的知识，不再单纯依靠教师的课堂传授。翻转课堂的课前阶段是让学生自己通过网络大数据去寻找微课中所涉及到的知识点；然后将通过网络得到的知识点在课堂中进行讨论，总结，消化。课堂结束后，学生带着课堂讨论中的疑问再次通过网络去寻找答案。这样，学生通过这三个阶段能够学习到学科最前沿的知识．以适应信息时代社会发展的需求。这种学习方法针对于中国学生的教育现状而言，其效力如何还需要经过我们长期实践才能得到答案。但在2010年9月美国教育部曾一份在线学习的研究报告表明学生通过在线学习至少和教师面对面讲授的学习效果一样。

二、微课程与翻转课堂相结合的教学模式建设现状

在国外的实践中，与“微课程”相关的名词有Minicourse、Microlecture和Microlesson等，但人们对微课程的研究方向并不完全相同。在国内的研究中，与微课程相近的概念有“微型课程”、“微课”等不同提法，目前学术界虽然尚未形成统一的认识，但基本已达成这样的共识：微课将引领教学改革。我国率先提出微课程建设的胡铁生认为：“微课程是指按照新课程标准及教学实践要求，以教学视频为主要载体，反映教师在课堂教学过程中针对某个知识点或教学环节而开展教与学活动的各种教学资源有机组合”。微课程在法律教学中具有巨大的应用潜力，促进了法律课堂极大丰富，但这种教学模式仍处于不断探索之中。微课程不仅仅作为配合教师上课的教学资源而存在，还应该与“翻转课堂”这种新型教学模式相结合，从根本上改变教师单纯组织课堂教学的方式，形成双向交流机制。目前，微课程教学取得显著成果的是美国可汗学院，他们的课程主要是以讲授知识点为主的“小”课程．每段课程影片长度约10分钟，由易到难的方式将相应的微课程衔接起来进行视频教学。可汗学院已突破了传统学校的教学理念、教学方法和教学模式，甚至被认为正在翻转课堂。2010年，美国中小学开始了利用可汗学院课程进行翻转课堂的实验。在国内，利用微课程进行翻转课堂实验最初是从基础教育开始的。其先进的创新理念和创新教学思想逐渐被推广到高等教育教学应用，并迅速“火爆”起来。如上海交通大学于2012年推进了在线教育平台———“南洋学堂”的实施，在校内试验与推广微课程与翻转课堂相结合的应用，并制定了一系列的教学改革措施来推进在线教育的发展。微课程与翻转课堂的结合正在悄然声息的改变的中国教育传统模式。

三、法律微课程与翻转课堂教学模式的实践困难

（一）意识形态转变需要长期的过程

我国现行的教育模式自新中国建立起来已经推行了几十年，家长和学生已经习惯了传统教授的教学模式。学生从上学伊始就被灌输课堂认真听讲，课后大量做题的机械性学习思想。这种思想根深蒂固的扎在家长和学生的心里。所以，要想改变他们的思想并非易事，需要长期的潜移默化的过程。量变是质变前提，只有经过大量的量变的准备，才能成功推行新的教学模式质变。

（二）网络还未达到广泛的普及

微课程与翻转课堂的核心武器就是网络。学生通过网络熟悉现行的法律法规，阅读法院的各种判例等，为翻转课堂做好前期的准备。所以离开了网络，微课程和翻转课程就难以实施，终究只是纸上的实践而已。就目前而言，不仅仅是高中以下的学校，甚至包括大学教室里没有安装网络。一方面这是传统教学模式带来的结果，另一方面也是为了杜绝学生利用网络进行教学以外的其它行为所致。所以要在全国范围了立刻推行翻转课堂是不可能的，需要时间和资金的支持。

（三）微课程与翻转课堂的运用可能造成部分学生的惰性

微课程与翻转课堂的教学效果取决于学生积极参与。虽然这种教学模式比传统教学模式具有极大的先进性，能带动大部分学生积极的参与。但是对于那些习惯于被动得到知识、动手能力差、思维不活跃的学生来说，这种课堂也许是一种负担：他们不知道如何去利用网络进行问题的提出与思考；不知道如何分析法律现状以及法律运用的恰当性。还有一部分学生并没有把学习当成一件神圣的事业完成，他们仅仅是为了文凭而学习，学习的动力不足。那么新的教学模式对他们来说成效也是不如人意，毕竟课堂的教学时间是固定的，无法照顾到每一个学生的需求，所以可能会造成部分学生学习的惰性。

（四）国内部分学校的重视程度不够

在我国应试教育模式下，传统教育模式更适合学生参加应试教育。如果采取翻转课堂这种新的教学模式，部分学生因为课程的教学的灵活性而没有认真积极准备，这样会影响学校的升学率。因此，部分学校特别是高中以下的义务教育学校不愿意采取这种新的课堂教学模式。根据我们对某所高中进行的问卷调查发现：我们一共发出300份问卷，收回来278份。问卷中30%（取整数，以下百分比均取整数）学生认为翻转课堂的教学模式有意思，想尝试；51%学生认为他们目前最关键任务是考上好的大学，希望老师积极讲授各方面的知识；12%学生认为无所谓；7%学生不知道什么是翻转课堂教学模式。由此可见。在高中学校推行翻转课堂的阻力比较大，这种现状的转变需要长期过程。

四、微课程和翻转课堂有机结合，推动法律课程创新机制

法律课程是一门严谨的学科，牵扯到法律，法规，政策的综合运用。传统教学模式认为：只要教师将最新的法律、法规等传达给学生，学生课后死记硬背即可。但这种教学模式忽略一个问题：我们国家的法律，法规和政策非常之繁多，让学生死记硬背不仅不能很好的运用于实践，而且随着时间的推移，死记硬背下来的东西易于忘记。所以这种教学模式弊端较大。那么如何将微课堂与翻转课堂有机结合，推动学生的学习积极性，推动法律课程改革呢？

（一）法律微视频的拍摄与运用

项目参与人于2008年至今，在学校一直从事法律教学工作。在教学中，经常给学生播放中央电视台的《今日说法》视频。《今日说法》这个栏目中，有案情的介绍，有专家的评述，与动于静的有机结合，吸引了学生的注意力。因此，在运用微课程与翻转课堂时，亦借鉴《今日说法》的模式：先让学生就一个法律问题拍摄一个微视频，在微视频中进行角色的分配，完成一个小的案例故事。拍摄完后学生先就案例中所牵扯的法律知识进行课前准备；在课堂上，专家的角色由几位同学担任。先由学生案例知识进行发言，讨论，辩论；后由学生专家总结。这种形式很好的将微课与翻转课堂有机结合，充分调动学生积极参与的热情。笔者在一线教学中一直采取这种教学模式。实践证明，学生的积极性非常高，在寓教于乐的过程中将法律知识运用于实践，摆脱了死记硬背的苦恼和缺陷。

（二）建立“有教有类”的个性化学习主义理论

学习主义理论是本杰明.布鲁姆创立的，其理论核心就是要求学生有足够时间去主动学习。只要老师给与学生足够的时间，并帮他们找到学习的方法，所有的学生都可以掌握学习的内容，使他们达到良好的发展水平。建构学习主义理论中包含了两个大的方面，首先是对新的法律法规的信息的建构，同时也要对传统的教学经验进行改造。学习不再是被动的接受，而是主动的构建自己的知识框架。学习主义意义的获得，是每个学习者以自己原有的知识经验为基础，对新信息重新认识和编码，建构自己的理解。在这一过程中，学习者原有的知识经验因为的的知识经验而进入发生调整和改变。第二，教师在新的教学模式下，担任知识建构的帮助者和改良者，是学生在学习中的合伙人，进行角色定位的转化，教师的身份由主导作用更换为伙伴，积极促进学生自主学习的愿望和动机。而个性化学习主义理论认为，学习过程即是个性展现和养成的过程，也是自我实现和追求个性化的过程。个性化学习强调学习过程应该针对每一个学生独特的个性和独特的潜能而采取不同的方法、手段、内容等，促进学生在各方面获得全面发展的过程。

（三）翻转课堂的教学设计要科学适用

翻转课堂的教学模式分为三个阶段即课前，课中和课后。课前阶段以进行教学内容选择与展示为目的。课前的微课程是翻转课堂关键一步，我们可以在这个阶段将本单元要掌握的法律知识点，法律课程的核心内容，需要解决的法律问题等以微视频，图片或PPT等形式向学生进行展示，学生带着这些问题认真学习，把握知识点，然后分组进行微视频拍摄。视频的拍摄无需专业化，普通的相机即可，避免给学生造成经济上的压力。课中的环节需要教师参与和重点关注的环节。在课中，以学生微课视频展示为主，通过法律微视频引发讨论点，并对学生进行个别化指导来解决课前学生自学中存在的问题。古人云“授人以鱼不如授人以渔”，所以在课中阶段，教师要善于对解决问题的方法的教授，如何运用法律法规解决实际生活中案件，而不是单纯问题答案的给出。针对教学中的重点，难点问题引导学生开展讨论并点评，然后根据联系情况来制定下一步的学习计划，做到有的放矢。这一阶段的核心是师生在互动中发现问题，解决问题，并探讨解决问题的方法和手段。课后阶段是总结和反思的阶段。在这一阶段中，学生要总结本单元的知识点掌握程度；而教师也要反思：本单元的教学目标是否完成，学生的自主学习探索知识的能力有无得到锻炼；教学模式是否引起学生的强烈的学习兴趣和学习动机。通过师生的总结和反思，发现问题，解决问题，按质按量的完成教学任务。

（四）建立以培养学生职业能力为目标的教学体系

法律学科与其他人文学科最大不同点在于实用性强。法律知识全在于运用。而法律学科学生就业最多的地方有：公安，检察院，法院，律师，公司法务。就业所处的地方不同，所要解决的问题亦不同。因此，在微课程和翻转课堂教学中要注重培养学生的职业素养和职业能力。按照岗位的不同，将学生未来想从事的职业进行分组，按照小组进行分项工作，完成岗位要求的任务。如在法院的法官是站在公平的角度进行客观公正的审判，他所解决的案件要考虑全局，照顾到原被告双方的利益；而如果站在律师的角度，律师就是为当事人服务的，在合法的范围内完全维护当事人的利益，无需考虑对方的感受。公司的法务人员要从风险控制的法律体系中建立风险控制的意识等等。学生在完成各自工作项目时对学到的知识进行归纳，总结，提取对不同业务岗位的岗位要求。从而提升学生对待问题的分析能力，培养他们对待工作的责任心。

（五）建立科学的教育评价新机制

传统教学中，评定学生学习效果的唯一手段就是期末考试分数，于是乎就出现了在期末考试前为应试而占位所出的千奇百怪的招数。临时抱佛脚的场景每个学期都在上演。这样的评定机制根本无法客观的评价学生的学习优劣。而微课中的翻转课堂教学就是要打破现有有教师评价学生的学习状况的传统做法，建立一种新型的评价机制。学生在学习的过程中，有自主选择的权利，可以选择观看自己的任课教师的视频来学习，也可以观看其他老师的视频来学习，因此，只要能够顺利通过学习，不管是微视频的制作，还是课中的讨论和点评等都应该计算学分，打破传统的试卷定分的评分机制。这样的机制，有利于优质教育资源的共享，对促进教育均衡发展也有很重要的意义。

五、结语

微课程与翻转课堂的创新成败取决于教师的专业素养的高低和学生的主动学习的态度优劣。它不单单是对传统课程讲授模式的补充和发展，更是对传统教学方式的一种颠覆。翻转课堂的讲授模式是教学模式和学习方法的变革，但在资源利用方面并无深度的变化。因此，我们仍可以在现有的教育资源基础上进行翻转课堂的创新与发展，重点调动学生积极学习的动力。翻转课堂当然也没有那么神秘，只是将传统的传道授业、答疑解惑辅助以现有的数字化工具，进行角色变更。虽然翻转课堂的教学模式有调动学生的积极性等诸多好处，但在研究中，也有诸如以下的担心：这种教学模式是否适合所有的学生？如果学生并没有强烈的参与意识，仅仅当成一种学习负担怎么办？如何将该方法进行广泛的实施？哪里寻找更多的优秀教学视频？这些问题要想解决，需要进一步扩大翻转课堂的实验范围，然后进行数据的整理归纳才能得到答案，这需要长期的实践。

作者:吴玲单位:广东财经大学华商学院

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数学建模的微分方程方法篇6

【关键词】微分方程；减肥模型；应用

一、引言

微分方程是现代数学的一个重要分支，是研究函数变化规律的有力工具，它在科技、工程、经济管理、生态、环境、人口、交通等各个领域中有着广泛的应用.在实际生活中，事物的变化本身具有某种内在规律，这些规律即是量与量之间的依赖关系.微分方程可以通过对事物进行机理分析，找出量与量的变化关系.实际生活中涉及变化率、边际、数量规律等问题可以通过求解微分方程去预测其内在变化规律.

数学模型是现实世界的本质反映和科学抽象，它用数学语言描述研究对象的固有特性和有关因素之间的互相关系.在客观世界中，为了对某一事物或过程进行定量的研究，常常通过建立数学模型来表征这个事物或过程的本质.一个好的数学模型不仅客观地反映了实际，而且又易于处理.通过对数学模型的求解或分析来解释客观现象，预测事物发展，以及进行系统决策，这种解决问题的方法在生产技术、科学技术和经济金融等众多领域中得到了广泛的应用，成为人们研究客观世界的有力工具.

应用微分方程理论在实际解决问题的过程中建立的数学模型，一般是动态数学模型，其结果极其简明，但整个推导过程却有点繁杂，不过还是能给人们以合理的解释.由此我们认为有机地将数学建模与微分方程结合，必定能使微分方程在实际应用过程中发挥更多更好的作用，以便能解决更多的实际问题，产生更好的效益.

二、微分方程在数学建模中的应用

在碰到实际问题时，应建立研究对象的数学模型.建立数学模型首先应具体问题具体分析，对建立数学模型的目的应做相应的假设和简化，而后依照其内在规律罗列出这种微分方程，求出其方程的解，并将其结果进行描述、分析、预测或控制，最后回到实际对象中应用.下面介绍微分方程建模的例子.

问题描述：某人每天由饭食获取2500卡热量，其中1200卡用于新陈代谢，此外每千克体重需支付16卡热量作为运动消耗，其余热量则转化为脂肪，已知以脂肪形式贮存的热量利用率为100%，每千克脂肪含热量10000卡，问此人的体重如何随时间而变化？

解析设人的体重为m（t），假设体重随时间是连续变化的，即m（t）是连续函数且充分光滑，故我们认为能量的摄取和消耗是随时发生的.这里我们以“天”为时间单位，在任何一个时间段内考虑能量的摄入和消耗所引起的体重的变化.根据能量的平衡原理，任何时间段内由于体重的改变所引起的人体内能量的变化应该等于这段时间内摄入的能量与消耗的能量的差.

我们发现从理论上来说，只要适当调节A和B，C（不变），即控制饮食和增加活动量，减肥就能达到好的效果.

三、总结

目前，数学模型已经广泛应用于社会的各个领域，人们追求定量分析和优化决策，这都离不开数学模型.数学模型是为了解决现实问题而建立起来的，它能够反映现实，即能够反映现实的内在规律和数量关系.数学模型作为一种模型，必须对现象做出一些必要的简化和假设.首先，要忽略现实问题中许多与数量无关的因素，例如，本例中我们忽略了个体的年龄、性别、健康状况等.其次，还要忽略一些次要的数量因素，从而在本质上更能集中反映现实问题的数量规律.本文所做的分析只是众多应用中的一个方面，S着现代科学技术的飞速发展，有理由相信基于微分方程的数学建模有着更加广阔的前景.另外，目前随着人们生活水平的不断提高，肥胖逐渐呈现出低龄化，尤其是儿童肥胖应该引起我们的重视.

【参考文献】

[1]宋秀英.微分方程数学模型和数学实验在实际生活中的应用举例[J].价值工程，2012（14）：272-273.

[2]方芳.常微分方程理论在数学建模中的简单应用[D].合肥：安徽大学，2010.

[3]李伯德.数学建模方法[M].兰州：甘肃教育出版社，2005.