数学建模实例分析篇1

关键词：初中数学；数学建模；解题能力

数学是学生从小学就开始学习的一门课程，也是在生活和科研中运用极为广泛的一门自然科学。在初中数学教学阶段逐步渗透数学思想方法，培养良好的思维习惯，有助于提高学生学习数学的能力。下面我结合几个突例，谈谈在初中数学教学中渗透数学建模思想，希望能从中得到启发，有助于以后的教学。

一、建模思想在应用题中的运用

在现实生活中存在着各种等量关系，如增长率、行程、工程等问题，同时也存在着不等关系，如最优方案、方案设计、市场营销等问题。对于此类问题常常建议学生可以通过建模的思想，建立方程（组）或不等式（组）模型来解决实际问题。

例1.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？

分析：设每轮传染中平均一个人传染了x个人。

开始有一人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了x个人。

用代数式表示，第一轮后共有人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，用代数式表示，第二轮后共有人患了流感。

列方程：1+x+x（1+x）=121.

解方程，得x1=，x2=，平均一个人传染了

个人。

接着课本又提出思考：

如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感？

这个问题引发学生更深层次的思考，可以得出这样的结论：

通过这个思考我们可得到，经过n次传染的人数，对患病人数有个预测，有利于我们下一步该采取什么措施。

让学生体会到数学与生活中的紧密联系，体现数学的价值，从而有效地提高学生的数学建模能力。

二、建模思想在作图题中的运用

例2.如下图，一老农有一块平行四边形的土地，地里有一个圆形池塘，老农立下遗嘱：要把这块土地平分给他的两个儿子，中间的池塘也要平分，但不知道怎么做，你能想个办法吗？

分析：这道题实际上是两个中心对称图形的组合图形，要将其面积等分，只要找到一条直线，使其既等分平行四边形的面积，又等分圆的面积即可。

连接平行四边形的两条对角线，其交点就是平行四边形的中心，找出圆的圆心，过这两点的一条直线，这条直线就将地与池塘的面积平分了。

作图题与实际生活联系紧密，要求学生把实际问题转化为数学问题，通过所学的数学知识，解决实际问题，提高学生分析问题和解决问题的能力。

三、建模思想在函数中的运用

函数的题目，对很多学生来说很棘手，更别说与实际生活联系的函数题目了。其实这类试题以数学建模为中心，旨在考查学生解决实际问题的能力，教师可以将它们作为典例，以便为学生建立模型。学生可以通过学习范例、做习题等活动来掌握一门科学知识及其方法。

例3.制作一种产品，需先将材料加热达到60℃后，再进行操作。设该材料温度为y（℃），从加热开始计算的时间为x（分钟）。据了解，设该材料加热时，温度y与时间x成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y与时间x成反比例关系（如图）。已知该材料在操作加工前的温度为15℃，加热5分钟后温度达到60℃。

（1）分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y与x的函数关系式；

（2）根据工艺要求，当材料的温度低于15℃时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多少时间？

分析：本题主要考查一次函数、反比例函数解析式的求法。但由于本题是由一次函数和反比例函数组成的分段函数，所有要注意分类讨论，分别写出函数关系式。（1）显然将材料加热时，即0≤x≤5，y与x是一次函数，直线过点（0，15）、（5，60）；停止加热时，即x≥5，y与x是反比例函数，图象过点（5，60），易求得函数关系式；（2）当材料的温度低于15℃时，需停止操作，即令y=15，求对应的自变量的值。

用函数观点处理实际问题，关键在于分析实际情境，建立函数模型，并进一步明确数学问题，将实际问题置于已有的知识背景之中，用数学知识重新解释这是什么？可以看到什么？逐步形成解决实际问题的能力。而在解决问题时，不仅要充分利用函数的图象，渗透数形结合的思想，还要注意函数不等式、方程之间的联系，以及学科之间知识渗透。重要的有以下几点经验：

1.通过分析，把实际问题中的数量关系转化为数学问题中的数量关系；利用构建好的数学模型、函数思想来解决这类问题。

2.通过观察图像，把图像中提供、展现的信息转化为与函数有关的知识来解题。

教学中不仅要教知识，更重要的是教方法。这些实例都是从实际中提炼出来的，要通过这些知识的教学，帮助学生从实际生活中发现数学问题，运用所学知识解决实际问题。还可以根据本地区的实际，选择一些实际问题，引导学生加以解决，提高他们应用知识解决问题的能力。

参考文献：

数学建模实例分析篇2

【关键词】教学模式；数学教学；经贸财会

高数是经贸财会类高职高专每个专业必修的重要工具课和基础课.传统“轻应用、重理论”的经贸财会类高数教学模式已经把高数教学逼进近乎死胡同，所以，设计倡导与各经贸财会类专业知识相结合的以应用为导向、易理解、有用的一种高数教学新模式就显得尤为紧要.

1.提出问题

传统“重理论、轻应用”的高等数学教学模式，由于有无提高思维、提高了多少不好衡量评价，其结果就是高等数学的作用逐年受到质疑，地位每况愈下：几乎所有经贸财会专业的高等数学学时不断压缩，有些经贸财会专业甚至直接砍掉，不开设.

2.分析问题

课程和教学内容体系改革是经贸财会类高职高专教改的难点和重点.应按照突出实践性、应用性的原则使课程结构重组，教学内容更新，注重教学方法与手段改革、教学内容改革相结合.高等数学的教学在经贸财会类各专业教学中的用途是很广泛的：利率极限、最值分析、经济函数、弹性分析、边际分析等内容主要在经济管理专业中涉及，库存模型、最值分析等主要在物流管理专业中涉及.必须贯彻“应用即目的”的教学要求，做到教学与各相关专业课程结合，从而让学生明白学习高数是为了什么.因此，构建、倡导与各经贸财会类专业知识相结合的以应用为导向、易理解、有用的一种高数教学新模式就具有非常大的现实意义.

3.构建模式

构建以应用型案例教学为导向，思维训练与应用教学相结合的经贸财会类高职高专高数教学模式.此模式逻辑顺序为：应用案例作为先导让学生直观感知、理解，引出相关数学内容，相关数学内容教学（应用案例），数学练习与应用练习.以极限的教学讲授为例：

以日常生活一个例子来介绍和引出极限，让学生产生直观的认识.

分析完以上有关极限思想和方法的例子后，可让学生独自使用极限思想方法完成一些相应练习.

学生通过练习会对极限思想、方法及其应用有一个深入的理解，然后可以引入极限的相关性质及运算.

总之，讲授函数极限、函数导数、函数微分、函数不定积分、函数定积分、函数多元微积分时，务必坚持以应用案例教学作为导向，通过应用型案例把握相关数学定义、方法，再用数学概念、数学方法、练习加强经贸财会类专业应用型案例的解决与分析.

4.研究结论

“应用案例教学作为导向，训练思维与应用教学相结合”的经贸财会类高职高专数学教学模式的构建、倡导与实践有着非常重要的现实意义，让学生在训练思维的同时，领悟高等数学这门理论课程对各相关专业教与学的重要性.经过了阶段性的积累，具备高质量、足够的应用教学案例支持，所构建和倡导的应用型高数教学模式就在经贸财会类专业领域日益彰显出其巨大价值与作用.

【参考文献】

[1]张国勇.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2007.

数学建模实例分析篇3

关键词：回归分析;案例教学;回归模型

回归分析是研究多个变量间的非确定性关系的一种统计分析方法，它在自然科学、经济学和社会管理学等领域的定量分析中有着广泛的应用。“应用回归分析”是高校统计学本科专业的必修课程，它的先修课程有高等代数、数学分析、概率论与数理统计等专业基础课。“应用回归分析”的教学目的，是使学生能够理解和掌握基本的线性回归模型，并了解其他常用的回归模型，例如岭回归、Logistic回归等。通过该课程的学习，学生不仅对回归分析的理论有所了解，而且能够利用回归的方法进行数据分析、统计建模，解决实际问题。

本文作者是高校数学学院统计学专业的专任教师，多年来担任“应用回归分析”的主讲教师。我们针对该门课程的特点，结合这些年在教学工作中发现的问题和积累的经验，对“应用回归分析”课程的教学内容和教学方法做一些有益的探讨。

一、理论教学内容的改进

根据我院统计学本科专业偏精算方向的实际情况，我们在讲授“应用回归分析”时，既要对回归分析的重要理论作严格的数学证明、公式推导，使回归分析的学习不失数学的严谨性。但是，考虑到本科生的实际情况，对一些过于复杂的理论，我们只介绍它们的意义，并不作数学推导。这样一来，我们不但降低了回归分析理论学习的难度，而且保证了回归理论的完整性。同时，考虑到本科层次的回归分析的教学目的，重点是教授学生如何利用回归的方法来研究变量间的数量关系。因此，我们在选用教材上着重于回归分析的应用。综合考虑这些情况，我们选用了何晓群、刘文卿著的《应用回归分析》这本书。在实际的讲授中，对于作为回归分析基础的一元线性回归和多元线性回归内容，我们全面系统地介绍了它的理论，包括定理证明、公式推导。这样既训练了学生的数学思维能力，又加深了对线性回归的理解。

另外，对于像自变量的选择与逐步回归、多重共线性等内容，我们将教学重点放在学生对这些问题的理解上。我们在教学中发现，将这些内容与实际问题相结合，更能加深学生的理解，而且有助于激发学生的学习热情。例如，在介绍变量的选择这部分内容时，我们举了空气污染研究中的变量选择。该研究讨论了某地区死亡率与气候、社会经济和污染变量的关系。它列举了15个可能影响死亡率的变量，分别是年平均降水量、一月份平均气温、七月份平均气温、65岁以上老年人口百分比、每户人口数、接受学校教育年限的中位数、具有合理住宅的百分比、每平方英里的人数、非白种人的百分比、白领阶层的百分比、低收入家庭的百分比、碳氢化合物相对潜在污染、氮氧化合物相对潜在污染、二氧化硫化合物相对潜在污染、相对湿度、各种原因导致的经过年龄修正的总死亡率等。我们不从流行病学的角度去评论，只是利用数据进行变量选择的示范。又如，在介绍共线性数据的变量选择时，我们探讨了枪械在底特律凶杀案件中的作用。根据Gunst和Mason收集的1961～1973年的数据，响应变量为该城市的凶杀率，预测变量是与凶杀案相关联或对凶杀率上升有影响的变量，例如，每100～1000人中配备的全职警察人数、失业人口百分比、制造业人口百分比等。通过实例的讲解，学生对于所学的内容的理解更加深刻，同时也接触到一些利用回归的方法处理实际问题的技巧。

二、在实验教学中引入案例分析

回归方法通常处理的变量的观测数据量很大，手工计算回归模型参数和检验统计量很困难。因此，通常需要统计软件进行计算。在回归分析中，常见的软件有SAS、SPSS等。这些软件都是收费性质的软件，虽然软件公司提供面向高等院校的免费版本，但功能较为有限。考虑这样的实际情况，我们在回归分析的实验课教学中采用了免费开源的统计软件，R软件。R是用于统计分析、绘图的语言和操作环境。R是属于GNU系统的一个自由、免费、源代码开放的软件，它是一个用于统计计算和统计制图的优秀工具。R是一套完整的数据处理、计算和制图软件系统。其功能包括：数据存储和处理系统;数组运算工具（其向量、矩阵运算方面功能尤其强大）;完整连贯的统计分析工具;优秀的统计制图功能;简便而强大的编程语言：可操纵数据的输入和输出，可实现分支、循环，用户可自定义功能。我们在实际的实验教学中，在讲解R软件的基本操作过程中，将如何利用R语言建立并求解回归模型融入其中。通过这种方式训练学生利用统计软件解决实际问题的能力。同时，我们在选择回归模型实例时，尽量考虑社会经济和管理领域的实际问题，选择和教学内容相关，同时又具有启发性的案例。这样，既训练了学生解决实际问题的能力，又锻炼了学生对社会经济现象的理解分析能力。

三、以数学建模竞赛为平台，培养学生解决实际问题的能力

每年一届的大学生数学建模竞赛，目前已成为全国高校规模最大的基础性学科竞赛，它通常选择在实际的社会生产生活或者经济现象中遇到的实际问题为试题，目的是考察大学生运用所学的数学知识解决实际问题的能力。实际上，很多的竞赛试题都可以通过建立合适的回归模型加以解决。我们的回归分析开设在每学年的上学期，恰好和数学建模竞赛的时间相吻合，我们在教授回归分析的同时，鼓励学生报名参加该项赛事。我们根据学生的学习情况，将学生适当分组，充分调动学生的积极性和创造性。同时，学生在数学建模竞赛中也检验了所学的理论知识，激发了他们的学习热情。例如，针对建筑工程协会提供的一个由于遗漏了预测变量而造成人工的自相关现象的例子。该协会希望了解住房工程开工规模与人口增长的关系，其目的是为了预测建筑业的发展规模。由于客观条件的限制，不可能知道潜在的购房者的准确数据，只能把当地的居民数量作为反映潜在购房者规模的变量。收集的数据是该地区25年的资料，包括住房开工数、人口规模等。经过分析，一元线性回归可以反映人口规模和住房需求的关系。但是，人口规模与开工数之间的关系较为复杂，往往是住房开工数会影响人口规模（通过人口迁移），反之不然。通过分析这个实际模型，学生接触了现实生产生活中的变量更复杂，或许有其他的变量更好地解释开工规模，由于忽略了这样的变量而造成了误差间的自相关。这些可能的潜在变量包括失业率、婚姻和家庭的社会趋向、政府的住房政策、建筑和抵押资金的供给。通过实际分析，在引入了抵押资金后，误差的自相关性消失了，模型较好地反映了变量的关系。

四、探索科学合理的课程考试方式

应用回归分析是一门实践性比较强的统计学专业课，在以理论教学为主的前提下，还应与实践教学和案例教学结合。针对该课程的特点，我们改变了以期末考试的“一张卷”定分数的传统考核方式。我们以期末考试与平时能力测试相结合的考试方试。其中，期末考试主要考查学生对回归分析的基本理论和基本方法的理解掌握程度。平时能力测试包括平时作业的完成情况、上机实践考核、实践报告。此外，我们还建立了回归分析教学网站。我们将很多相关的参考资料放到网站上，包括教材、参考书、参考文献、教学大纲、教学计划、多媒体课件、实验案例、习题和解答、教学录像等。这样，极大地方便了学生在课前预习和课后复习。我们利用这个网站，课后与学生在网上交流学习情况、辅导答疑等。学生的平时测验也放到网站上，让学生在网上提交测验，这样给学生充分的思考时间。在期末考试结束后，教师结合以上几个方面的分数，给出学生的该门课程的最终成绩。

参考文献：

[1]何晓群，刘文卿.应用回归分析[M].中国人民大学出版社，2011.

[2]SampritChatterjee.例解回归分析[M].机械工业出版社，2013.

数学建模实例分析篇4

【关键词】大学数学；微积分；数学建模

长期以来，微积分都是大学理工专业的基础性学科之一，也是学生普遍感觉难学的内容之一.究其原因，既有微积分自身属于抽象知识的因素，也有教学过程中方法失当的可能，因此寻找更为有效的教学思路，就成为当务之急.

数学教学中一向有建模的思路，中学教育中学生也接受过隐性的数学建模教育，因而学生进入大学之后也就有了基础的数学建模经验与能力.但由于很少经过系统的训练，因而学生对数学建模及其应用又缺乏必要的理论认识，进而不能将数学建模转换成有效的学习能力.而在微积分教学中如果能够将数学建模运用到好处，则学生的建构过程则会顺利得多.本文试对此进行论述.

一、数学建模的学习价值再述

从学生的视角纵观学生接受的教学，可以发现现在的大学生所经历的教学往往更多地将研究重心放在教学方式上，基础教育阶段经历过的自主合作探究的教学方式，成为当前大学生的主流学习方式.这种重心置于教学方式的教学思路，会一定程度上掩盖传统且优秀的教学思想，不幸的是，数学建模就是其中之一.大学数学教学中，数学建模理应彰显出更充分的显性价值.现以微积分教学为例进行分析.

大学数学教学中，微积分知识具有分析、解决实际问题的作用，其知识的建构也能培养学生的应用数学并以数学眼光看待事物的意识与能力，而这些教学目标的达成，离不开数学建模.比如说作为建构微积分概念的重要基础，导数很重要，而对于导数概念的构建而言，极值的教学又极为重要，而极值本身就与数学建模密切相关.极值在微积分教学中常常以这样的数学形式出现：设y=f（x）在x0处有导数存在，且f′（x）=0，则x=x0称为y=f（x）的驻点.又假如有f″（x0）存在，且有f’（x）=0，f″（x）≠0，则可以得出以下两个结论：如果f″（x）0，则f（x0）是其极小值.在纯粹的数学习题中，学生在解决极值问题的时候，往往可以依据以上思路来完成，但在实际问题中，这样的简单情形是很难出现的，这个时候就需要借助一些条件来求极值，而在此过程中，数学建模就起着重要的作用.譬如有这样的一个实际问题：为什么看起来体积相同的移动硬盘会有不同的容量？给定一块硬盘，又如何使其容量最大？事实证明，即使是大学生，在面对这个问题时也往往束手无策.根据笔者调查研究，发现学生在初次面对这个问题的时候，往往都是从表面现象入手的，他们真的将思维的重点放在移动硬盘的体积上.显然，这是一种缺乏建模意识的表现.

反之，如果学生能够洞察移动硬盘的容量形成机制（这是数学建模的基础，是透过现象看本质的关键性步骤），知道硬盘的容量取决于磁道与扇区，而磁道的疏密又与磁道间的距离（简称磁道宽度）有关，有效的磁道及宽度是一个硬盘容量的重要决定因素.那就可以以之建立一个极限模型，来判断出硬盘容量最大值.从这样的例子可以看出，数学建模的意识存在与否，就决定了一个问题解决层次的高低，也反映出一名学生的真正的数学素养.因而从教学的角度来看，数学建模在于引导学生抓住事物的关键，并以关键因素及其之间的联系来构建数学模型，从而完成问题的分析与求解.笔者以为，这就是包括数学建模在内的教学理论对学生的巨大教学价值.

事实上，数学建模原本就是大学数学教育的传统思路，全国性的大学生数学建模竞赛近年来也有快速发展，李大潜院士更是提出了“把数学建模的思想和方法融入大学主干数学课程教学中去”的口号，这说明从教学的层面，数学建模的价值是得到认可与执行的.作为一线数学教师，更多的是通过自身的有效实践，总结出行之有效的实践办法，以让数学建模不仅仅是一个美丽的概念，还是一条能够促进大学数学教学健康发展的光明大道.

二、微积分教学建模应用例析

大学数学中，微积分这一部分的内容非常广泛，从最基本的极限概念，到复杂的定积分与不定积分，再到多元函数微积分、二重积分、微分方程与差分方程等，每一个内容都极为复杂抽象.从学生完整建构的角度来看，没有一个或多个坚实的模型支撑，学生是很难完成这么多内容的学习的.而根据笔者的实践，基于数学建模来促进相关知识的有效教学，是可行的.

先分析上面的极限例子.这是学生学习微积分的基础，也是数学建模初次的显性应用，在笔者看来该例子的分析具有重要的奠基性作用，也是一次重要的关于数学建模的启蒙.在实际教学过程中，笔者引导学生先建立这样的认识：

首先，全面梳理计算机硬盘的容量机制，建立实际认识.通过资料查询与梳理，学生得出的有效信息是：磁盘是一个绕轴转动的金属盘；磁道是以转轴为圆心的同心圆轨道；扇区是以圆心角为单位的扇形区域.磁道间的距离决定了磁盘容量的大小，但由于分辨率的限制，磁道之间的距离又不是越小越好.同时，一个磁道上的比特数也与磁盘容量密切相关，比特数就是一个磁道上被确定为1B的数目.由于计算的需要，一个扇区内每一个磁道的比特数必须是相同的（这意味着离圆心越远的磁道，浪费越多）.最终，决定磁盘容量的就是磁道宽度与每个磁道上的比特数.

其次，将实物转换为数学模型.显然，这个数学模型应当是一个圆，而磁盘容量与磁道及一个磁道的容量关系为：磁盘容量=磁道容量×磁道数.如果磁盘上可以有效磁化的半径范围为r至R，磁道密度为a，则可磁化磁道数目则为R-ra.由于越靠近圆心，磁道越短，因此最内一条磁道的容量决定了整体容量，设每1B所占的弧长不小于b，于是就可以得到一个关于磁盘容量的公式：

B（r）=R-ra・2πrb.

于是，磁盘容量问题就变成了求B（r）的极大值问题.这里可以对B（r）进行求导，最终可以发现当从半径为R2处开始读写时，磁盘有最大容量.

而在其后的反思中学生会提出问题：为什么不是把整个磁盘写满而获得最大容量的？这个问题的提出实际上既反映了这部分学生没有完全理解刚才的建模过程，反过来又是一个深化理解本题数学模型的过程.反思第一步中的分析可以发现，如果选择靠近圆心的磁道作为第一道磁道，那么由于该磁道太短，而使得一个圆周无法写出太多的1B弧长（比特数），进而影响了同一扇区内较长磁道的利用；反之，如果第一磁道距离圆心太远，又不利于更多磁道的利用.而本题极值的意义恰恰就在于磁道数与每磁道比特数的积的最大值.通过这种数学模型的建立与反思，学生往往可以有效地生成模型意识，而通过求导来求极值的数学能力，也会在此过程中悄然形成.

又如，在当前比较热门的房贷问题中，也运用到微积分的相关知识，更用到数学建模的思想.众所周知，房贷还息有两种方式：一是等额本金，一是等额本息.依据这两种还款方式的不同，设某人贷款额为A，利息为m，还款月数为n，月还款额为x.根据还款要求，两种方式可以分别生成这样的数学模型：

x1=Am（1+m）n（1+m）n-1，

x2=Amemnemn-1.

显然，可以通过微积分的相关知识对两式求解并比较出x1和x2的大小，从而判断哪种还款方式更为合理.在这个例子当中，学生思维的关键点在于对两种还款方式进行数学角度的分析，即将还款的相关因子整合到一个数学式子当中去，然后求解.实际上本题还可以进一步升级，即通过考虑贷款利率与理财利率，甚至CPI，来考虑贷款基数与利差关系，以求最大收益.这样可以让实际问题变得更为复杂，所建立的数学模型与所列出的收益公式自然也就更为复杂，但同样能够培养学生的数学建模能力.限于篇幅，此不赘述.

三、大学数学建模的教学浅思

在实际教学中笔者发现，大学数学教学中，数学建模有两步必走：

一是数学建模本身的模式化过程.依托具体的教学内容，将数学建模作为教学重点，必须遵循这样的四个步骤：合理分析；建立模型；分析模型；解释验证.其中合理分析是对实际事物的建模要素的提取，所谓合理，即是要从数学逻辑的角度分析研究对象中存在的逻辑联系，所谓分析即将无关因素去除；建立模型实际上是一个数学抽象的过程，将实际事物对象抽象成数学对象，用数学模型去描述实际事物，将实际问题中的已知与未知关系转换成数学上的已知条件与待求问题；在此基础上利用数学知识去求解；解释验证更多的是根据结果来判断模型的合理程度.通常情况下，课堂上学生建立的模型有教师的判断作楸Vぃ因而合理程度较高，而如果让学生在课后采集现实问题并利用数学建模的思路去求解，则往往受建立模型过程中考虑因素是否全面，以及数学工具的运用是否合理等因素影响，极有可能出现数学模型不够精确的情形.这个时候，解释验证就是极为重要的一个步骤，而如果模型不恰当，则需要重走这四个步骤，于是数学模型的建立就成为一个类似于课题研究的过程，这对于大学生的数学学习来说，也是一个必需的过程.

二是必须基于具体知识去引导学生理解数学建模.数学建模作为一种数学思想，只有与具体实例结合起来才有其生命力.在微积分教学中之所以如此重视建模及应用，一个重要原因就是微积分知识本身过于抽象.事实表明，即使进入高校，学生的思维仍然不足以支撑这样的抽象的数学知识的构建，必须结合具体实例，让学生依靠数学模型去进行思考.因此，基于具体数学知识与实际问题的教学，可以让学生在知识构建中理解数学模型，在模型生成中强化知识构建，知识与数模之间存在着相互促进的关系，而这也是大学数学教学中模型应用的较好境界.

【参考文献】

数学建模实例分析篇5

当前，高考第五批和中专对口升学学生成为高职院校的主要生源，高等数学在高职院校不仅是工科学生公共必修课，同时也为经济类的专业基础课，对学生学习后续专业课程非常重要。但学生数学基础相对薄弱，对学习不感兴趣，自制力差。而学生对线性代数抽象的概念定理及其冗繁的计算难以接受成为线性代数教学的突出表现，因此，在线性代数教学中融入数学建模思想方法是解决学生理解困难和实现教学目标的有效途径。

一、高职院校线性代数教学情况与建模发展概况

1.线性代数教学情况。行列式、矩阵和线性方程组是目前高职院校线性代数部分教学的主要内容，所用的教材是以理论计算为主体，教学偏重其基本定义和定理，过分强调理论学习，忽视其方法和应用，有关线性代数应用实例几乎不涉及。再者高职院校高等数学总体课时少，因此线性代数部分课时也非常有限，但其理论抽象，内容较多，教师在课堂上大多采用填鸭式的教学方式，导致该课程与实际应用严重脱离，造成了学生感觉线性代数知识枯燥，计算繁杂，学习它无用处，大大降低了学生的学习热情。

2.数学建模及其发展概况。数学建模的基本思想是利用数学知识解决实际问题，是对问题进行调查、观察和分析，提出假设，经过抽象简化，建立反映实际问题的数量关系;并利用数学知识和Matlab、Lingo、Mathematics等数学软件求解所得到的模型;再用所得结论解释实际问题，结合实际信息来检验结果，最后根据验证情况来对模型进行改进和应用，它使学数学与用数学得到统一。数学建模大专组竞赛开展已有15年，参赛的高职院校逐年增加，我院在多年的参赛中取得了一定的成果，但因数学建模难度大和学生数学基础薄弱以及高职院校学制的原因，参加数学建模培训的学生基本为大一新生，而且只有小部分，明显受益面小。

二、数学建模思想融人线性代数教学中的具体实施线性代数因其理论抽象，逻辑严密，计算繁琐，让人对其现实意义感受不到，使高职学生学习起来有困难，也就很难激发学生的学习兴趣，因此，线性代数教学过程中就要求教师介绍应用案例应体现科学性、通俗性和实用性。

1.数学建模思想融入线性代数理论教学中。线性代数中的行列式、矩阵、矩阵乘法、线性方程组等复杂抽象的概念都可以通过实际问题经过抽象和概括得到，故而可以恰当选取一些生动的实例来吸引学生的注意力，通过对实际背景问题的提出、分析、归纳和总结过程的引入线性代数定义，同时自然地建立起概念模型，让学生切实体会把实际问题转化为数学的过程，逐步培养学生的数学建模思想。比如讲授行列式定义之前，可以引入一个货物交换模型，并介绍模型是由诺贝尔经济学奖获得者列昂杰夫(Leontief)提出，让学生拓展视野。引导学生分析问题，建立一个三元线性方程组来求解该问题，再以此问题引出行列式，使学生了解行列式应用背景是为求解线性方程组而定义的。从简单的经济问题入手，让学生了解知识的应用背景，使学生感受到学习行列式是为生产实践服务的，提高学生学习的积极性[2]，明确学生学习的目的性。

2.数学建模思想融入线性代数案例教学中。选择简单的实际案例作为线性代数例题，给学生讲授理论知识的同时引导学生对问题进行分析，对案例进行适当简化并做出合理假设，再建立数学模型并求解，进而用结果解释实际案例，学生通过这样的学习过程容易理解掌握理论知识，同时也体会了数学建模的基本思想，更让学生认识到线性代数的实用价值，而且有利于提高学生分析问题和解决问题的能力。对于不同的专业，可以根据专业需要引入相应的数学模型，但专业性不能太强，由于大一学生还暂时没有学，因课时限制，在线性代数课堂教学中应该采用简单的例子。比如经管类专业的学生学习矩阵和线性方程组的相关例题时，可以分别选择简单的投入产出问题和互付工资问题的数学模型;而电子通信类专业的学生学习矩阵和线性方程组的相关例题时，可以加入简单的电路设计问题和电路网络问题的数学模型。

3.数学建模思想融入线性代数课后练习中。高职院校线性代数教学内容侧重于理论，课后习题的配置大多数只是为学生巩固基础知识和运算技巧的，对线性代数的定义、定理的实际应用问题基本没有涉及，学生的实际应用训练不够，因此适当地补充一些简单的线性代数建模习题，让学生通过对所学的知识与数学建模思想方法相结合来解决。我们从两个方面具体实施：

(1)在线性代数课程中加入Matlab数学实验，利用2个学时介绍与行列式、矩阵、线性方程组等内容相关的Matlab软件的基础知识，再安排2个学时让学生上机练习并提交一份应用Matlab计算行列式、矩阵和线性方程组相关内容的实验报告。

(2)针对所学的内容，开展1次数学建模习题活动，要求学生3人一组利用课余时间合作完成建模作业，作业以小论文形式提交，提交之后，教师让每组选一个代表简单介绍完成作业的思路和遇到的问题，其余队员可作补充，再针对文章的不同做出相应的点评并指出改进的方向。通过这种学习模式，不但提高学生自学和语言表达以及论文写作能力，而且利于培养学生团队合作和促进师生关系，教学效果也得以提升。

4.数学建模思想的案例融入线性代数教学中。案例1：矩阵的乘积。现有甲、乙、丙三个商家某厂家的A、B、C、D四款产品。四款产品的每箱单价和重量分别为A：20元，16千克;B：50元，20千克;C：30元，16千克;D：25元，12千克。甲商的产品与数量分别为A：20箱，B：5箱，D：8箱。乙商的产品与数量分别为B：12箱，C：16箱，D：10箱。丙商的产品与数量分别为A：10箱，B：30箱。求解三家商产品总价和总重量。模型假设：①在没任何促销优惠措施下严格按照单价和数量计算总价;②同款产品对即使不同级别的三家商执行同样的单价。模型建立：由已知数据分析可知，发往各商的产品类别不尽相同，通过用0代替，可以列成表。由此，分别将产品的单价和单位重量。

三、改革的初步成效

数学建模实例分析篇6

关键词：常微分方程；数学建模；人口预测；传染病

1引言

方程是数学学科的重点内容之一，如线性方程、对数方程等，在一些实际问题的求解方面有着十分重要的应用，但是依旧存在许多的问题无法通过初等数学中的一些常见方程进行刻画和求解。一般来说，微分方程就是联系自变量、未知函数以及未知函数的某些导数或微分的关系式。数学建模是利用数学方法解决实际问题的一种实践。即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后，将实际问题用数学方式表达，建立起数学模型。而由于常微分方程能够有效地对复杂的实际问题进行刻画，因此在数学建模问题的求解方面有着十分广泛的应用。

2常微分方程模型

微分方程与物理、天文学以及日异月新的科学技术有着密切的联系。微分方程是自变量、未知函数及函数的导数组成的关系式。在反映客观现实世界运动过程的量与量之间的关系中，大量存在满足微分方程关系似的数学模型，需要我们通过求解常微分方程来了解未知函数的性质。构造常微分方程的数学模型有如下几种方法：

（1）运用已知的基本定律或基本公式建立常微分方程模型

主要利用各学科中已知的定理或定律来建立的。如力学中万有引力定律等。

（2）利用导数的定义建立微分方程模型

（3）利用微元法建立常微分方程模型

（4）模拟近似

模拟近似是在事物发展的规律不很清楚的复杂问题中常用的方法，该过程往往是近似的，需要对最后的求得的解进行分析，将计算结果与实际相比较是否符合实际。

3常微分方程求解数学建模问题

3.1基于常微分方程的经典数学建模问题

用数学语言来对研究目标随时间变化过程进行描述，建立的动态模型就是微分方程模型。微分方程模型的建立通常是依据物理、化学、工程科学等中的基本原理，待定函数的导数或微分的数学关系式表示出来。下面我们由浅入深地介绍一些微分方程模型。

例1细菌群落增长问题

已知初始时刻细菌群落的总数为y0，T时刻为yT，求解0～T时刻内任意时间细菌数量。

例3红绿灯问题

交通红绿灯在人们生活中有着重要的作用，其中黄色指示灯对保障交通安全发挥了重要作用，那么黄灯持续时间多长为宜？

分析：驾驶员看到黄色信号灯后立即做出决定是否停车。若停车，则需要判断停车距离是否满足条件，该条件是由速度决定的。而已经过线无法停住的车辆，黄灯需留有一定的时间保障其能够通过。据此，对上述问题进行求解：

（1）根据法定最高限速v0计算停车线位置，使得停车线到路口的距离满足刹车需求；

（2）根据停车线和速度v0计算黄灯持续时间。

如上图所示，绿色曲线为实际人口统计，蓝色为指数模型预测结果，红色为阻滞增长模型预测结果。可见，指数模型在19世纪以前预测结果与实际基本吻合，但是之后的预测值大大超过实际值。而阻滞增长模型具有较高的预测精度，符合实际变化规律。

3.3基于常微分方程的传染病预测模型

目前，大多数传染病模型都是对由Kermark和MeKendrick所建立的SIR模型的修正而得到的。SIS模型中染病者康复后可以再次被感染；SIR模型中康复者后获得终身免疫力：而SIRS模型中康复者有暂时免疫力，一段时间后重新成为易感者。下面，本文以北京市SARS传播为研究对象，建立传染病模型进行分析研究。SARS的传播可以分为三个阶段：

（1）控制前的自然传播模式阶段。

（2）过渡期阶段，政府采取隔离措施前的一段时期内。

（3）控制阶段，即政府采取隔离治疗措施阶段。

4小结

本文对常微分方程模型在数学模型中的应用进行了研究分析，对建立微分方程的方法进行了介绍，并给出了生物学、社会科学、统计学、物理学、医学等多个学科的实例，基于常微分方程建立相关数学模型对实例中的问题进行了求解。随着社会的进步和发展，基于常微分方程的数学模型对解决复杂的实际问题发挥着日益重要的作用。

参考文献

[1]王高雄等.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，2001.1.

[2]姜启源，谢金星，叶俊.数学模型[M].北京：高等教育出版社，2003.6.

[3]东北师范大学微分教研室.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，2005.4.

[4]刘双等.SARS临床病例及影像学分析[M].中国医药科技出版社，2003.5.